Решение задачи: Найти главный момент сил

Дано: \(a = 4\) м \(F_1 = 8,4\) Н \(F_2 = 8,9\) Н Найти: \(M_O\) — модуль главного момента сил относительно точки \(O\). Решение: Главный момент сил относительно точки \(O\) равен векторной сумме моментов каждой силы: \[ \vec{M}_O = \vec{M}_O(\vec{F}_1) + \vec{M}_O(\vec{F}_2) \] 1. Проанализируем силу \(\vec{F}_1\): Сила \(\vec{F}_1\) направлена вдоль оси \(y\) и лежит в плоскости \(Oxy\). Линия действия силы проходит на расстоянии \(a\) от оси \(z\) и на расстоянии \(a\) от оси \(x\). Координаты точки приложения силы \(\vec{F}_1\): \((a, 0, 0)\). Вектор силы: \(\vec{F}_1 = (0, F_1, 0)\). Момент силы \(\vec{F}_1\) относительно точки \(O\): \[ \vec{M}_O(\vec{F}_1) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & F_1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{k} \cdot (a \cdot F_1) \] Следовательно, \(M_{1x} = 0\), \(M_{1y} = 0\), \(M_{1z} = a \cdot F_1\). 2. Проанализируем силу \(\vec{F}_2\): Сила \(\vec{F}_2\) направлена вдоль диагонали боковой грани куба. Точка приложения: \((a, a, 0)\). Конец вектора: \((a, a, a)\). Вектор силы \(\vec{F}_2\) имеет компоненты: \(\vec{F}_2 = (0, 0, F_2)\), так как на рисунке стрелка направлена вертикально вверх вдоль ребра. Момент силы \(\vec{F}_2\) относительно точки \(O\): \[ \vec{M}_O(\vec{F}_2) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & a & 0 \\ 0 & 0 & F_2 \end{vmatrix} = \vec{i} \cdot (a \cdot F_2) - \vec{j} \cdot (a \cdot F_2) \] Следовательно, \(M_{2x} = a \cdot F_2\), \(M_{2y} = -a \cdot F_2\), \(M_{2z} = 0\). 3. Найдем проекции главного момента на оси координат: \[ M_x = M_{1x} + M_{2x} = 0 + a \cdot F_2 = 4 \cdot 8,9 = 35,6 \text{ Н}\cdot\text{м} \] \[ M_y = M_{1y} + M_{2y} = 0 - a \cdot F_2 = -4 \cdot 8,9 = -35,6 \text{ Н}\cdot\text{м} \] \[ M_z = M_{1z} + M_{2z} = a \cdot F_1 + 0 = 4 \cdot 8,4 = 33,6 \text{ Н}\cdot\text{м} \] 4. Вычислим модуль главного момента: \[ M_O = \sqrt{M_x^2 + M_y^2 + M_z^2} \] \[ M_O = \sqrt{35,6^2 + (-35,6)^2 + 33,6^2} \] \[ M_O = \sqrt{1267,36 + 1267,36 + 1128,96} \] \[ M_O = \sqrt{3663,68} \approx 60,53 \text{ Н}\cdot\text{м} \] Ответ: \(M_O \approx 60,53\) Н·м.