Решение задачи: Главный момент силы относительно центра куба

Дано: \(a = 4\) м \(F_1 = 8,4\) Н \(F_2 = 8,9\) Н Центр приведения — точка \(O\) (центр куба). Найти: \(M_O\) — модуль главного момента. Решение: 1. Координаты точки \(O\) (центр куба): \[O(a/2, a/2, a/2)\] 2. Анализ силы \(\vec{F_1}\): Сила \(\vec{F_1}\) направлена вдоль ребра куба параллельно оси \(y\). Точка приложения силы \(\vec{F_1}\) имеет координаты \(A_1(a, 0, 0)\). Вектор силы: \(\vec{F_1} = \{0, F_1, 0\}\). Радиус-вектор от \(O\) к \(A_1\): \(\vec{r_1} = \{a - a/2, 0 - a/2, 0 - a/2\} = \{a/2, -a/2, -a/2\}\). Момент силы \(\vec{F_1}\) относительно \(O\): \[\vec{M_1} = \vec{r_1} \times \vec{F_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a/2 & -a/2 & -a/2 \\ 0 & F_1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(a/2 \cdot F_1) - \vec{j}(0) + \vec{k}(a/2 \cdot F_1)\] \[\vec{M_1} = \{ \frac{a F_1}{2}, 0, \frac{a F_1}{2} \}\] 3. Анализ силы \(\vec{F_2}\): Сила \(\vec{F_2}\) направлена по диагонали боковой грани. Точка приложения силы \(\vec{F_2}\) имеет координаты \(A_2(a, a, 0)\). Направление силы идет от \(A_2(a, a, 0)\) к точке \((a, a, a)\). Следовательно, сила направлена вдоль оси \(z\). Вектор силы: \(\vec{F_2} = \{0, 0, F_2\}\). Радиус-вектор от \(O\) к \(A_2\): \(\vec{r_2} = \{a - a/2, a - a/2, 0 - a/2\} = \{a/2, a/2, -a/2\}\). Момент силы \(\vec{F_2}\) относительно \(O\): \[\vec{M_2} = \vec{r_2} \times \vec{F_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a/2 & a/2 & -a/2 \\ 0 & 0 & F_2 \end{vmatrix} = \vec{i}(a/2 \cdot F_2) - \vec{j}(a/2 \cdot F_2) + \vec{k}(0)\] \[\vec{M_2} = \{ \frac{a F_2}{2}, -\frac{a F_2}{2}, 0 \}\] 4. Главный момент \(\vec{M_O}\): \[\vec{M_O} = \vec{M_1} + \vec{M_2} = \{ \frac{a(F_1 + F_2)}{2}, -\frac{a F_2}{2}, \frac{a F_1}{2} \}\] Подставим значения: \(M_{Ox} = \frac{4 \cdot (8,4 + 8,9)}{2} = 2 \cdot 17,3 = 34,6\) Н·м \(M_{Oy} = -\frac{4 \cdot 8,9}{2} = -17,8\) Н·м \(M_{Oz} = \frac{4 \cdot 8,4}{2} = 16,8\) Н·м 5. Модуль главного момента: \[M_O = \sqrt{M_{Ox}^2 + M_{Oy}^2 + M_{Oz}^2}\] \[M_O = \sqrt{34,6^2 + (-17,8)^2 + 16,8^2} = \sqrt{1197,16 + 316,84 + 282,24} = \sqrt{1796,24} \approx 42,38 \text{ Н·м}\] Ответ: \(M_O \approx 42,38\) Н·м.