Решение задачи: Нахождение главного момента сил

Дано: \(a = 1,9\) м \(F_1 = 2,3\) Н \(F_2 = 7,3\) Н Найти: \(M_O\) — модуль главного момента сил относительно точки \(O\). Решение: Главный момент сил относительно точки \(O\) равен векторной сумме моментов каждой силы: \[ \vec{M}_O = \vec{M}_O(\vec{F}_1) + \vec{M}_O(\vec{F}_2) \] Для нахождения модуля определим проекции главного момента на оси координат \(x, y, z\). Точка \(O\) находится в центре куба. Координаты точки \(O (0, 0, 0)\). 1. Анализ силы \(\vec{F}_1\): Сила \(\vec{F}_1\) направлена вдоль оси \(y\) и лежит на ребре куба. Расстояние от оси \(x\) до линии действия силы равно \(a/2\) (по вертикали вниз). Момент вокруг оси \(x\): \(M_x(F_1) = F_1 \cdot \frac{a}{2}\). Расстояние от оси \(z\) до линии действия силы равно \(a/2\) (по оси \(x\)). Момент вокруг оси \(z\): \(M_z(F_1) = -F_1 \cdot \frac{a}{2}\) (по правилу правой руки). Момент вокруг оси \(y\) равен 0, так как сила параллельна оси. 2. Анализ силы \(\vec{F}_2\): Сила \(\vec{F}_2\) направлена вдоль диагонали боковой грани. Она имеет две составляющие: по оси \(y\) и по оси \(z\). Так как это диагональ квадрата, угол составляет \(45^\circ\). \(F_{2y} = F_2 \cdot \cos(45^\circ) = F_2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\) \(F_{2z} = F_2 \cdot \sin(45^\circ) = F_2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\) Точка приложения силы \(\vec{F}_2\) имеет координаты \((a/2, a/2, -a/2)\). Вычислим моменты \(\vec{F}_2\) через определитель или плечи: \(M_x(F_2) = F_{2z} \cdot \frac{a}{2} - F_{2y} \cdot (-\frac{a}{2}) = \frac{a}{2}(F_{2z} + F_{2y}) = \frac{a}{2} \cdot F_2 \sqrt{2}\) \(M_y(F_2) = -F_{2z} \cdot \frac{a}{2}\) \(M_z(F_2) = F_{2y} \cdot \frac{a}{2}\) 3. Суммарные проекции момента: \(M_x = F_1 \cdot \frac{a}{2} + F_2 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a}{2} (F_1 + F_2 \sqrt{2})\) \(M_y = -F_2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{a}{2} = -\frac{a \cdot F_2 \sqrt{2}}{4}\) \(M_z = -F_1 \cdot \frac{a}{2} + F_2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a}{2} (\frac{F_2 \sqrt{2}}{2} - F_1)\) Подставим значения: \(F_2 \sqrt{2} \approx 7,3 \cdot 1,4142 \approx 10,3237\) Н \(a/2 = 0,95\) м \(M_x = 0,95 \cdot (2,3 + 10,3237) = 0,95 \cdot 12,6237 \approx 11,9925\) Н·м \(M_y = -0,95 \cdot \frac{10,3237}{2} \approx -4,9038\) Н·м \(M_z = 0,95 \cdot (\frac{10,3237}{2} - 2,3) = 0,95 \cdot (5,1618 - 2,3) = 0,95 \cdot 2,8618 \approx 2,7187\) Н·м 4. Модуль главного момента: \[ M_O = \sqrt{M_x^2 + M_y^2 + M_z^2} \] \[ M_O = \sqrt{11,9925^2 + (-4,9038)^2 + 2,7187^2} \] \[ M_O = \sqrt{143,82 + 24,05 + 7,39} = \sqrt{175,26} \approx 13,238 \] Ответ: \(M_O \approx 13,24\) Н·м.