Решение задачи: Найти главный момент силы

Дано: \(a = 1,9\) м \(F_1 = 2,3\) Н \(F_2 = 7,3\) Н Найти: \(M_O\) — модуль главного момента сил относительно точки \(O\). Решение: Главный момент системы сил относительно точки \(O\) равен векторной сумме моментов каждой силы: \[ \vec{M}_O = \vec{M}_O(\vec{F}_1) + \vec{M}_O(\vec{F}_2) \] Разложим главный момент на составляющие по осям координат \(x, y, z\). 1. Анализ силы \(\vec{F}_1\): Сила \(\vec{F}_1\) направлена вдоль оси \(y\) и лежит в плоскости \(Oxy\). Ее линия действия проходит на расстоянии \(a\) от оси \(x\) (высота по \(z\) равна 0, но она смещена по оси \(x\)). Координаты точки приложения силы \(\vec{F}_1\): \((a, 0, 0)\). Вектор силы: \(\vec{F}_1 = (0, F_1, 0)\). Момент силы \(\vec{F}_1\) относительно точки \(O\): \(M_x(F_1) = 0\) (сила параллельна плоскости, проходящей через ось, плечо по \(z\) равно 0). \(M_y(F_1) = 0\) (сила параллельна оси \(y\)). \(M_z(F_1) = F_1 \cdot a\) (вращение вокруг оси \(z\) против часовой стрелки). 2. Анализ силы \(\vec{F}_2\): Сила \(\vec{F}_2\) направлена вдоль диагонали боковой грани. Она лежит в плоскости \(y = a\). Вектор силы \(\vec{F}_2\) имеет компоненты по осям \(x\) и \(z\). Однако, судя по рисунку, она направлена из точки \((a, a, 0)\) в точку \((0, a, a)\). Но проще рассмотреть моменты по осям: \(M_x(F_2)\): Проекция силы на ось \(z\) создает момент \(F_{2z} \cdot a\). Проекция на ось \(y\) отсутствует. Сила \(\vec{F}_2\) лежит в плоскости \(y=a\). По рисунку \(\vec{F}_2\) направлена вдоль диагонали грани. Ее проекции: \(F_{2y} = 0\), \(F_{2x} = -F_2 \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(F_{2z} = F_2 \frac{\sqrt{2}}{2}\). Точка приложения \((a, a, 0)\). Вычислим моменты \(\vec{F}_2\) через определитель или плечи: \(M_x(F_2) = y \cdot F_{2z} - z \cdot F_{2y} = a \cdot (F_2 \frac{\sqrt{2}}{2}) - 0 = \frac{a F_2}{\sqrt{2}}\) \(M_y(F_2) = z \cdot F_{2x} - x \cdot F_{2z} = 0 \cdot F_{2x} - a \cdot (F_2 \frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{a F_2}{\sqrt{2}}\) \(M_z(F_2) = x \cdot F_{2y} - y \cdot F_{2x} = a \cdot 0 - a \cdot (-F_2 \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{a F_2}{\sqrt{2}}\) Суммарные проекции главного момента: \(M_{Ox} = \frac{a F_2}{\sqrt{2}}\) \(M_{Oy} = -\frac{a F_2}{\sqrt{2}}\) \(M_{Oz} = a F_1 + \frac{a F_2}{\sqrt{2}}\) Подставим значения: \(\frac{a F_2}{\sqrt{2}} = \frac{1,9 \cdot 7,3}{1,414} \approx 9,809\) Н·м \(M_{Ox} = 9,809\) Н·м \(M_{Oy} = -9,809\) Н·м \(M_{Oz} = 1,9 \cdot 2,3 + 9,809 = 4,37 + 9,809 = 14,179\) Н·м Модуль главного момента: \[ M_O = \sqrt{M_{Ox}^2 + M_{Oy}^2 + M_{Oz}^2} \] \[ M_O = \sqrt{9,809^2 + (-9,809)^2 + 14,179^2} \] \[ M_O = \sqrt{96,216 + 96,216 + 201,044} = \sqrt{393,476} \approx 19,836 \] Округлим до сотых: \(M_O \approx 19,84\) Н·м Ответ: 19,84 Н·м