Решение задачи: Найдите значение выражения и сократите дробь

Вариант 1 1. Найдите значение выражения \( \frac{2a - b}{3a} \) при \( a = 0,4 \), \( b = -5 \). Решение: Подставим значения переменных в выражение: \[ \frac{2 \cdot 0,4 - (-5)}{3 \cdot 0,4} = \frac{0,8 + 5}{1,2} = \frac{5,8}{1,2} \] Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 10: \[ \frac{58}{12} = \frac{29}{6} = 4\frac{5}{6} \] Ответ: \( 4\frac{5}{6} \). 2. Сократите дробь \( \frac{b^2 - c^2}{b^2 - bc} \). Решение: Разложим числитель по формуле разности квадратов, а в знаменателе вынесем общий множитель за скобки: \[ \frac{(b - c)(b + c)}{b(b - c)} \] Сократим на \( (b - c) \): \[ \frac{b + c}{b} \] Ответ: \( \frac{b + c}{b} \). 3. Выполните действия: а) \( \frac{x^2 - a^2}{2ax^2} \cdot \frac{ax}{a + x} \) Решение: Разложим числитель первой дроби на множители: \[ \frac{(x - a)(x + a)}{2ax^2} \cdot \frac{ax}{a + x} = \frac{(x - a)(x + a) \cdot ax}{2ax^2 \cdot (x + a)} \] Сократим на \( (x + a) \) и на \( ax \): \[ \frac{x - a}{2x} \] Ответ: \( \frac{x - a}{2x} \). б) \( \frac{8m^2}{n} : 2mn \) Решение: Представим деление как умножение на обратную дробь: \[ \frac{8m^2}{n} \cdot \frac{1}{2mn} = \frac{8m^2}{2mn^2} \] Сократим на \( 2m \): \[ \frac{4m}{n^2} \] Ответ: \( \frac{4m}{n^2} \). 4. Упростите выражение \( (\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2) \cdot \frac{1}{a - b} \). Решение: Приведем выражение в скобках к общему знаменателю \( ab \): \[ \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} \cdot \frac{1}{a - b} \] Заметим, что в числителе первой дроби — квадрат разности: \[ \frac{(a - b)^2}{ab} \cdot \frac{1}{a - b} = \frac{(a - b)^2}{ab(a - b)} \] Сократим на \( (a - b) \): \[ \frac{a - b}{ab} \] Ответ: \( \frac{a - b}{ab} \). 5. Упростите выражение \( \frac{3a^2b}{x^2} \cdot \frac{x}{ab^2} : \frac{3a^2}{x^2b} \). Решение: Запишем всё в виде одной дроби, заменив деление умножением: \[ \frac{3a^2b \cdot x \cdot x^2b}{x^2 \cdot ab^2 \cdot 3a^2} = \frac{3a^2b^2x^3}{3a^3b^2x^2} \] Сократим на \( 3 \), \( a^2 \), \( b^2 \) и \( x^2 \): \[ \frac{x}{a} \] Ответ: \( \frac{x}{a} \). 6. Сократите дробь \( \frac{2x^2 - 2y^2 - x + y}{1 - 2x - 2y} \). Решение: В числителе сгруппируем слагаемые: \[ \frac{2(x^2 - y^2) - (x - y)}{1 - 2(x + y)} = \frac{2(x - y)(x + y) - (x - y)}{1 - 2x - 2y} \] Вынесем \( (x - y) \) за скобки в числителе: \[ \frac{(x - y)(2(x + y) - 1)}{1 - 2x - 2y} = \frac{(x - y)(2x + 2y - 1)}{1 - 2x - 2y} \] Заметим, что \( (2x + 2y - 1) = -(1 - 2x - 2y) \): \[ \frac{(x - y) \cdot (-(1 - 2x - 2y))}{1 - 2x - 2y} = -(x - y) = y - x \] Ответ: \( y - x \).