Решение задачи на главный момент системы сил

Дано: \(F_1 = 1,7 \text{ Н}\) \(F_2 = 4,8 \text{ Н}\) \(OA = OB = OD = a = 10 \text{ м}\) Центр приведения — точка \(O(0, 0, 0)\). Найти: \(M_O\) — главный момент системы сил. Решение: Главный момент системы сил относительно точки \(O\) равен векторной сумме моментов каждой силы: \[ \vec{M}_O = \vec{M}_O(\vec{F}_1) + \vec{M}_O(\vec{F}_2) \] 1. Определим координаты точек приложения сил и векторы сил: Точка \(A\) лежит на оси \(x\): \(A(10, 0, 0)\). Сила \(\vec{F}_1\) направлена вертикально вверх (параллельно оси \(z\)): \[ \vec{F}_1 = \{0; 0; 1,7\} \] Точка \(D\) лежит на оси \(y\): \(D(0, 10, 0)\). Точка \(B\) лежит на оси \(z\): \(B(0, 0, 10)\). Сила \(\vec{F}_2\) направлена вдоль отрезка \(BD\). Найдем направляющий вектор \(\vec{BD} = \{0-0; 10-0; 0-10\} = \{0; 10; -10\}\). Длина отрезка \(BD = \sqrt{0^2 + 10^2 + (-10)^2} = 10\sqrt{2}\). Вектор силы \(\vec{F}_2\): \[ \vec{F}_2 = F_2 \cdot \frac{\vec{BD}}{BD} = 4,8 \cdot \frac{\{0; 10; -10\}}{10\sqrt{2}} = \{0; \frac{4,8}{\sqrt{2}}; -\frac{4,8}{\sqrt{2}}\} \] 2. Вычислим моменты сил относительно точки \(O\): Момент силы \(\vec{F}_1\): \[ \vec{M}_O(\vec{F}_1) = \vec{OA} \times \vec{F}_1 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 10 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1,7 \end{vmatrix} = \vec{i}(0) - \vec{j}(10 \cdot 1,7) + \vec{k}(0) = \{0; -17; 0\} \] Момент силы \(\vec{F}_2\). Так как линия действия силы \(\vec{F}_2\) проходит через точки \(B\) и \(D\), плечо силы относительно точки \(O\) — это высота треугольника \(OBD\), опущенная из \(O\) на \(BD\). В прямоугольном равнобедренном треугольнике \(OBD\) (\(OB=OD=10\)) эта высота \(h = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\). Направление момента \(\vec{M}_O(\vec{F}_2)\) перпендикулярно плоскости \(OBD\) (плоскость \(yz\)), то есть вдоль оси \(x\). По правилу правого винта момент направлен в отрицательную сторону оси \(x\). \[ M_{O2x} = -F_2 \cdot h = -4,8 \cdot 5\sqrt{2} = -24\sqrt{2} \approx -33,94 \text{ Н}\cdot\text{м} \] \[ \vec{M}_O(\vec{F}_2) = \{-33,94; 0; 0\} \] 3. Найдем компоненты главного момента: \[ M_x = -33,94 \text{ Н}\cdot\text{м} \] \[ M_y = -17 \text{ Н}\cdot\text{м} \] \[ M_z = 0 \text{ Н}\cdot\text{м} \] 4. Модуль главного момента: \[ M_O = \sqrt{M_x^2 + M_y^2 + M_z^2} = \sqrt{(-33,94)^2 + (-17)^2 + 0^2} \] \[ M_O = \sqrt{1151,92 + 289} = \sqrt{1440,92} \approx 37,96 \text{ Н}\cdot\text{м} \] Ответ: \(M_O \approx 38 \text{ Н}\cdot\text{м}\).