Решение задачи: Максимальный вес катка на наклонной плоскости

Дано: \(R = 3,8\) м \(M = 8,6\) Н·м \(\delta = 0,006\) м \(\alpha = 60^{\circ}\) Найти: \(P_{max}\) (наибольший вес) Решение: Для того чтобы каток мог катиться вверх по наклонной плоскости без проскальзывания, вращающий момент \(M\) должен преодолевать момент сопротивления качению и момент, создаваемый составляющей веса, параллельной плоскости. Однако, в классической постановке задачи о качении под действием пары сил, условие начала движения (качения) определяется уравнением моментов относительно точки контакта (с учетом смещения реакции опоры на величину плеча трения качения \(\delta\)). Условие качения вверх: \[M \ge M_{сопр} + M_{скат}\] Где: 1. \(M_{сопр} = N \cdot \delta\) — момент трения качения. Нормальная реакция опоры \(N = P \cdot \cos(\alpha)\). Следовательно, \(M_{сопр} = P \cdot \cos(\alpha) \cdot \delta\). 2. \(M_{скат} = P \cdot \sin(\alpha) \cdot R\) — момент от скатывающей силы относительно точки контакта (так как пара сил \(M\) приложена к центру, а мы рассматриваем вращение относительно мгновенного центра скоростей в точке контакта). Итоговое уравнение предельного состояния: \[M = P \cdot (R \cdot \sin(\alpha) + \delta \cdot \cos(\alpha))\] Выразим вес \(P\): \[P = \frac{M}{R \cdot \sin(\alpha) + \delta \cdot \cos(\alpha)}\] Подставим численные значения: \(\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866\) \(\cos(60^{\circ}) = 0,5\) \[P = \frac{8,6}{3,8 \cdot 0,866 + 0,006 \cdot 0,5}\] \[P = \frac{8,6}{3,2908 + 0,003}\] \[P = \frac{8,6}{3,2938} \approx 2,61 \text{ Н}\] Ответ: Наибольший вес катка составляет \(2,61\) Н.