Решение задачи по теоретической механике: Найти силу F

Задача по теоретической механике. Дано: \(q = 3,6\) Н/м — интенсивность распределенной нагрузки; \(L_q = 6\) м — длина участка распределенной нагрузки; \(d_q = 4 + 6/2 = 7\) м — плечо равнодействующей нагрузки \(q\) относительно оси \(y\); \(d_F = 3\) м — плечо силы \(F\) относительно оси \(y\); \(\alpha = 60^\circ\) — угол наклона силы \(F\) к стержню \(BC\). Найти: \(F\) — модуль силы. Решение: 1. Заменим распределенную нагрузку \(q\) ее равнодействующей \(Q\). Модуль равнодействующей равен произведению интенсивности на длину участка: \[Q = q \cdot 6 = 3,6 \cdot 6 = 21,6 \text{ Н}\] Эта сила направлена вертикально вниз (параллельно оси \(z\)). 2. Сила \(F\) лежит в плоскости, параллельной \(Oxz\). Для уравновешивания вала необходимо, чтобы сумма моментов всех сил относительно оси вращения \(y\) была равна нулю. \[\sum M_y = 0\] 3. Определим момент от силы \(Q\). Сила \(Q\) пытается повернуть вал вокруг оси \(y\). Плечо этой силы (кратчайшее расстояние от оси \(y\) до линии действия силы) равно расстоянию от точки \(D\) до середины участка распределенной нагрузки: \[h_Q = 4 + \frac{6}{2} = 7 \text{ м}\] Момент от силы \(Q\): \[M_y(Q) = Q \cdot h_Q = 21,6 \cdot 7 = 151,2 \text{ Н}\cdot\text{м}\] 4. Определим момент от силы \(F\). Сила \(F\) приложена в точке на расстоянии 3 м от оси \(y\). На вращение вала влияет только вертикальная составляющая силы \(F\), так как горизонтальная составляющая параллельна оси \(x\) и пересекает ось \(y\) (ее момент равен нулю). Вертикальная составляющая силы \(F\): \[F_z = F \cdot \sin(60^\circ)\] Момент от силы \(F\): \[M_y(F) = F \cdot \sin(60^\circ) \cdot 3\] 5. Составим уравнение моментов. Учитывая направления (сила \(Q\) тянет вниз с одной стороны, сила \(F\) давит вниз с другой стороны относительно оси вала в проекции на плоскость \(xz\)), запишем: \[F \cdot \sin(60^\circ) \cdot 3 = Q \cdot 7\] \[F \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3 = 151,2\] 6. Вычислим значение \(F\): \[F \cdot 1,5 \cdot 1,732 \approx 151,2\] \[F \cdot 2,598 = 151,2\] \[F = \frac{151,2}{3 \cdot \sin(60^\circ)} = \frac{151,2}{3 \cdot 0,866} \approx \frac{151,2}{2,598} \approx 58,2 \text{ Н}\] Если использовать точное значение \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[F = \frac{151,2 \cdot 2}{3 \cdot \sqrt{3}} = \frac{100,8}{\sqrt{3}} \approx 58,197 \text{ Н}\] Ответ: \(F \approx 58,2\) Н.