Решение задачи: Нахождение центра тяжести фигуры

Дано: Фигура \(ABDEFG\). \(a = 9,7\) м — расстояние от оси \(Ox\) до верхней стороны \(AB\). Размеры частей фигуры: Верхний горизонтальный прямоугольник: ширина \(1,2\) м, высота \(0,5\) м. Нижний вертикальный прямоугольник: ширина \(0,4\) м, высота \(0,6\) м. Найти: Координату \(y_c\) центра тяжести всей фигуры. Решение: Для решения задачи разобьем сложную фигуру на два простых прямоугольника: 1. Прямоугольник 1 (верхний): \(ABFG'\) (где \(G'\) — точка на линии \(BD\)). 2. Прямоугольник 2 (нижний): \(FED'E'\) (часть под линией \(GF\)). Однако, удобнее вычислить координаты центров тяжести каждой части относительно оси \(Ox\). Вычислим площади каждой части: Площадь верхнего прямоугольника \(S_1\): \[S_1 = 1,2 \cdot 0,5 = 0,6 \text{ м}^2\] Площадь нижнего прямоугольника \(S_2\): \[S_2 = 0,4 \cdot 0,6 = 0,24 \text{ м}^2\] Общая площадь \(S\): \[S = S_1 + S_2 = 0,6 + 0,24 = 0,84 \text{ м}^2\] Найдем координаты центров тяжести каждой части по оси \(y\): Для верхнего прямоугольника \(y_1\): Верхняя граница находится на высоте \(a = 9,7\). Нижняя граница этой части находится на высоте \(9,7 - 0,5 = 9,2\). Центр находится посередине: \[y_1 = 9,7 - \frac{0,5}{2} = 9,7 - 0,25 = 9,45 \text{ м}\] Для нижнего прямоугольника \(y_2\): Верхняя граница этой части совпадает с нижней границей первой и равна \(9,2\). Высота этой части \(0,6\). Центр находится посередине этой части: \[y_2 = 9,2 - \frac{0,6}{2} = 9,2 - 0,3 = 8,9 \text{ м}\] Вычислим координату \(y_c\) центра тяжести всей фигуры по формуле: \[y_c = \frac{S_1 \cdot y_1 + S_2 \cdot y_2}{S}\] Подставим значения: \[y_c = \frac{0,6 \cdot 9,45 + 0,24 \cdot 8,9}{0,84}\] \[y_c = \frac{5,67 + 2,136}{0,84}\] \[y_c = \frac{7,806}{0,84} \approx 9,2928... \text{ м}\] Округлим результат до сотых: \[y_c \approx 9,29 \text{ м}\] Ответ: \(y_c = 9,29\) м.