Решение задачи: Угол наклона полукруглой пластины в равновесии

Дано: Однородная пластина в виде полукруга. Пластина подвешена за точку \(A\) (край диаметра). В состоянии равновесия центр тяжести \(C\) должен находиться на одной вертикальной линии с точкой подвеса \(A\). Найти: Угол \(\alpha\) между горизонталью и диаметром полукруга. Решение: 1. Введем локальную систему координат, связанную с полукругом. Пусть центр диаметра — точка \(O\), а радиус полукруга — \(R\). Тогда точка подвеса \(A\) имеет координаты \((0, 0)\) в системе, где диаметр лежит на оси, а точка \(O\) находится в \((R, 0)\). 2. Известно, что центр тяжести \(C\) полукруга находится на оси симметрии, перпендикулярной диаметру, на расстоянии \(OC\) от центра диаметра: \[OC = \frac{4R}{3\pi}\] 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AOC\), где \(AO = R\) (расстояние от края до центра диаметра), а \(OC = \frac{4R}{3\pi}\) (расстояние от центра диаметра до центра тяжести). Угол \(\phi\) между диаметром \(AO\) и линией \(AC\) (которая в равновесии станет вертикалью) определяется как: \[\tan(\phi) = \frac{OC}{AO} = \frac{\frac{4R}{3\pi}}{R} = \frac{4}{3\pi}\] 4. Вычислим значение угла \(\phi\): \[\phi = \arctan\left(\frac{4}{3\pi}\right) \approx \arctan(0,4244) \approx 23,0^\circ\] 5. В состоянии равновесия отрезок \(AC\) вертикален. Угол \(\alpha\), который диаметр образует с горизонталью, дополняет угол \(\phi\) до \(90^\circ\), так как угол между вертикалью и горизонталью равен \(90^\circ\): \[\alpha = 90^\circ - \phi\] \[\alpha = 90^\circ - 23,0^\circ = 67,0^\circ\] Примечание: Если на рисунке \(\alpha\) обозначен как угол между горизонталью и диаметром, то расчет выше верен. Если же \(\alpha\) — это угол между вертикалью и диаметром, то \(\alpha = \phi \approx 23^\circ\). Судя по чертежу, искомый угол \(\alpha\) — это угол наклона диаметра к горизонтали. \[\alpha = 90^\circ - \arctan\left(\frac{4}{3\pi}\right) \approx 67,0^\circ\] Ответ: \(\alpha = 67,0^\circ\).