Нахождение центра тяжести круга с вырезанным треугольником

Дано: Круг радиусом \(r = 8\) м с центром в начале координат \(O(0,0)\). Из круга вырезан прямоугольный треугольник с вершинами в точках \((0,0)\), \((r,0)\) и \((0,r)\). Заштрихованная фигура — это круг без этого треугольника. Найти: Координату \(x_c\) центра тяжести заштрихованной площади. Решение: 1. Воспользуемся методом отрицательных площадей. Представим фигуру как совокупность целого круга (фигура 1) и «отрицательного» треугольника (фигура 2). 2. Характеристики круга (фигура 1): Площадь: \(S_1 = \pi r^2 = \pi \cdot 8^2 = 64\pi \text{ м}^2\). Координата центра тяжести: \(x_1 = 0\) (центр круга совпадает с началом координат). 3. Характеристики вырезанного треугольника (фигура 2): Площадь: \(S_2 = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32 \text{ м}^2\). Координата центра тяжести прямоугольного треугольника \(x_2\) находится на расстоянии \(1/3\) от катета, лежащего на оси \(Oy\): \[x_2 = \frac{r}{3} = \frac{8}{3} \text{ м}\] 4. Вычислим координату \(x_c\) всей заштрихованной фигуры по формуле: \[x_c = \frac{S_1 \cdot x_1 - S_2 \cdot x_2}{S_1 - S_2}\] Подставим значения: \[x_c = \frac{64\pi \cdot 0 - 32 \cdot \frac{8}{3}}{64\pi - 32}\] \[x_c = \frac{- \frac{256}{3}}{32(2\pi - 1)} = \frac{- 256}{3 \cdot 32(2\pi - 1)} = \frac{- 8}{3(2\pi - 1)}\] 5. Произведем расчет, используя \(\pi \approx 3,1416\): \[x_c = \frac{- 8}{3(2 \cdot 3,1416 - 1)} = \frac{- 8}{3(6,2832 - 1)} = \frac{- 8}{3 \cdot 5,2832} = \frac{- 8}{15,8496} \approx -0,5047... \text{ м}\] Округлим результат до сотых: \[x_c \approx -0,50 \text{ м}\] Знак «минус» означает, что центр тяжести смещен влево от оси \(Oy\), что логично, так как часть площади была удалена справа. Ответ: \(x_c = -0,50\) м.