Решение задачи: Найти y-координату центра тяжести полукруга с вырезом

Дано: Фигура представляет собой полукруг радиуса \(R = 0,91\) м, из которого вырезан полный круг радиуса \(r = 0,27\) м. Центр полукруга находится в начале координат \(O(0,0)\). Вырезанный круг касается основания полукруга (оси \(Ox\)). Найти: Координату \(y_c\) центра тяжести заштрихованной площади. Решение: 1. Воспользуемся методом отрицательных площадей. Рассмотрим фигуру как сумму большого полукруга (фигура 1) и «отрицательного» малого круга (фигура 2). 2. Характеристики полукруга (фигура 1): Площадь: \[S_1 = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi \cdot 0,91^2 \approx 1,3005 \text{ м}^2\] Координата центра тяжести полукруга по оси \(y\): \[y_1 = \frac{4R}{3\pi} = \frac{4 \cdot 0,91}{3\pi} \approx 0,3862 \text{ м}\] 3. Характеристики вырезанного круга (фигура 2): Площадь: \[S_2 = \pi r^2 = \pi \cdot 0,27^2 \approx 0,2290 \text{ м}^2\] Так как круг касается оси \(Ox\), его центр находится на высоте, равной его радиусу: \[y_2 = r = 0,27 \text{ м}\] 4. Вычислим координату \(y_c\) всей фигуры по формуле: \[y_c = \frac{S_1 \cdot y_1 - S_2 \cdot y_2}{S_1 - S_2}\] Подставим выражения через радиусы для точности: \[y_c = \frac{(\frac{1}{2} \pi R^2) \cdot (\frac{4R}{3\pi}) - (\pi r^2) \cdot r}{\frac{1}{2} \pi R^2 - \pi r^2}\] \[y_c = \frac{\frac{2}{3} R^3 - \pi r^3}{\pi (\frac{1}{2} R^2 - r^2)}\] 5. Подставим численные значения: Числитель: \[\frac{2}{3} \cdot 0,91^3 - \pi \cdot 0,27^3 \approx 0,50237 - 0,06184 = 0,44053\] Знаменатель: \[\pi \cdot (\frac{1}{2} \cdot 0,91^2 - 0,27^2) \approx \pi \cdot (0,41405 - 0,0729) = \pi \cdot 0,34115 \approx 1,07175\] \[y_c = \frac{0,44053}{1,07175} \approx 0,4110 \text{ м}\] Округлим результат до сотых: \[y_c \approx 0,41 \text{ м}\] Ответ: \(y_c = 0,41\) м.