Решение задачи: Центр тяжести двух цилиндров

Дано: Тело состоит из двух однородных цилиндров. Нижний цилиндр: радиус \(R\), высота \(H = 8,9\) м. Верхний цилиндр: радиус \(r\), высота \(H_1 = 2H\). Связь радиусов: \(R = 2r\). Найти: Координату \(z_c\) центра тяжести тела. Решение: 1. Для однородных тел координата центра тяжести совпадает с центром объема. Формула для составного тела: \[z_c = \frac{V_1 z_1 + V_2 z_2}{V_1 + V_2}\] где \(V_i\) — объем части, \(z_i\) — координата центра тяжести этой части. 2. Характеристики нижнего цилиндра (часть 1): Объем: \(V_1 = \pi R^2 H\). Так как \(R = 2r\), то \(V_1 = \pi (2r)^2 H = 4\pi r^2 H\). Центр тяжести цилиндра находится посередине его высоты: \[z_1 = \frac{H}{2}\] 3. Характеристики верхнего цилиндра (часть 2): Объем: \(V_2 = \pi r^2 H_1\). Так как \(H_1 = 2H\), то \(V_2 = \pi r^2 (2H) = 2\pi r^2 H\). Центр тяжести верхнего цилиндра находится посередине его собственной высоты, но отсчитывается от основания нижнего цилиндра (оси \(Oy\)): \[z_2 = H + \frac{H_1}{2} = H + \frac{2H}{2} = 2H\] 4. Подставим значения в общую формулу: \[z_c = \frac{(4\pi r^2 H) \cdot \frac{H}{2} + (2\pi r^2 H) \cdot 2H}{4\pi r^2 H + 2\pi r^2 H}\] Сократим на общий множитель \(\pi r^2 H\): \[z_c = \frac{4 \cdot \frac{H}{2} + 2 \cdot 2H}{4 + 2} = \frac{2H + 4H}{6} = \frac{6H}{6} = H\] 5. Подставим заданное значение \(H = 8,9\) м: \[z_c = 8,9 \text{ м}\] Ответ: \(z_c = 8,9\) м.