Решение: Нахождение натяжения троса в задаче по термеху

Решение задачи по теоретической механике. Дано: \(G = 199\) Н \(a = 0,4\) м \(\alpha = 60^{\circ}\) Размеры плиты: \(3a \times 3a\) Найти: \(T\) (натяжение троса) Решение: 1. Рассмотрим равновесие плиты. На плиту действуют: - Сила тяжести \(\vec{G}\), приложенная в центре масс плиты (геометрический центр квадрата). Координаты точки приложения: \(x_G = 1,5a\), \(y_G = 1,5a\). - Реакции шарниров \(O\) и \(A\). - Сила натяжения троса \(\vec{T}\), направленная вдоль \(BD\). 2. Для нахождения натяжения троса \(T\) составим уравнение моментов сил относительно оси \(Oy\), проходящей через шарниры \(O\) и \(A\). Это позволит исключить неизвестные реакции в этих шарнирах. 3. Определим плечи сил относительно оси \(Oy\): - Плечо силы тяжести \(G\) равно расстоянию от центра масс до оси \(Oy\), то есть \(x_G = 1,5a\). Момент силы \(G\) стремится повернуть плиту вниз. - Сила натяжения троса \(T\) приложена в точке \(B\). Разложим вектор \(\vec{T}\) на составляющие. Вертикальная составляющая силы натяжения \(T_z\) создает момент относительно оси \(Oy\). Из геометрии рисунка (треугольник в вертикальной плоскости, проходящей через \(BD\)): \[T_z = T \cdot \cos(\alpha)\] Плечо этой составляющей относительно оси \(Oy\) равно стороне плиты \(OC = 3a\). 4. Составим уравнение моментов \(\sum M_y = 0\): \[G \cdot 1,5a - T_z \cdot 3a = 0\] Подставим выражение для \(T_z\): \[G \cdot 1,5a - T \cdot \cos(\alpha) \cdot 3a = 0\] 5. Выразим искомую величину \(T\): Сократим на \(a\) и перенесем слагаемые: \[1,5 \cdot G = 3 \cdot T \cdot \cos(\alpha)\] \[T = \frac{1,5 \cdot G}{3 \cdot \cos(\alpha)} = \frac{G}{2 \cdot \cos(\alpha)}\] 6. Подставим численные значения: \[T = \frac{199}{2 \cdot \cos(60^{\circ})}\] Так как \(\cos(60^{\circ}) = 0,5\): \[T = \frac{199}{2 \cdot 0,5} = \frac{199}{1} = 199 \text{ Н}\] Ответ: \(T = 199\) Н.