Решение:

Дано: \(G = 408\) Н \(a = 21\) см \(\alpha = 61^{\circ}\) \(\beta = 44^{\circ}\) \(\gamma = 60^{\circ}\) Размеры плиты: \(3a\) по оси \(y\) и \(4a\) по оси \(x\). Найти: \(T_{AB}\) (натяжение троса). Решение: Для определения натяжения троса \(T_{AB}\) составим уравнение моментов всех сил относительно оси \(Ox\). В равновесии сумма моментов равна нулю: \[ \sum M_x = 0 \] На плиту действуют две основные силы, создающие момент относительно оси \(Ox\): 1. Сила тяжести \(G\). Она приложена в центре тяжести однородной плиты. Координата центра тяжести по оси \(y\) равна половине ширины плиты: \(y_G = \frac{3a}{2} = 1,5a\). Плечо силы \(G\) относительно оси \(Ox\) равно \(1,5a\). Момент силы \(G\) положителен (направлен на вращение вокруг \(Ox\)): \[ M_x(G) = G \cdot 1,5a \] 2. Сила натяжения троса \(T\). Она приложена в точке \(A\) с координатами \((4a, 3a, 0)\). Чтобы найти её момент, нужно спроецировать силу \(T\) на оси. Нас интересует составляющая, создающая момент относительно \(Ox\), то есть вертикальная проекция \(T_z\). Из углов направления троса (направляющие косинусы): \[ T_z = T \cdot \cos(\gamma) \] Плечо этой силы относительно оси \(Ox\) равно координате \(y\) точки \(A\), то есть \(3a\). Момент силы \(T\) отрицателен (тянет плиту вверх): \[ M_x(T) = -T_z \cdot 3a = -T \cdot \cos(\gamma) \cdot 3a \] Составим уравнение моментов: \[ G \cdot 1,5a - T \cdot \cos(\gamma) \cdot 3a = 0 \] Разделим уравнение на \(a\) (так как \(a \neq 0\)): \[ 1,5 \cdot G = 3 \cdot T \cdot \cos(\gamma) \] Выразим \(T\): \[ T = \frac{1,5 \cdot G}{3 \cdot \cos(\gamma)} = \frac{G}{2 \cdot \cos(\gamma)} \] Подставим числовые значения: \[ T = \frac{408}{2 \cdot \cos(60^{\circ})} \] Так как \(\cos(60^{\circ}) = 0,5\): \[ T = \frac{408}{2 \cdot 0,5} = \frac{408}{1} = 408 \text{ Н} \] Ответ: \(T = 408\) Н.