Решение задачи: Определение момента силы в заделке

Дано: \(OA = 1,7\) м \(AB = 2\) м \(BD = 2,5\) м \(F = 2\) кН \(q = 6,7\) кН/м \(BD \parallel Ox\) Найти: \(M_O\) (результирующий момент в заделке) Решение: Для определения результирующего момента в точке \(O\) необходимо найти сумму моментов всех внешних сил относительно этой точки. В данной пространственной задаче момент будет иметь составляющие по осям координат. Однако, судя по чертежу и условию, нас интересует модуль суммарного момента, возникающего от действия распределенной нагрузки \(q\) и сосредоточенной силы \(F\). 1. Распределенная нагрузка \(q\): Она действует на участке \(AB\) длиной \(L_{AB} = 2\) м. Равнодействующая распределенной нагрузки \(Q\) равна: \[Q = q \cdot AB = 6,7 \cdot 2 = 13,4 \text{ кН}\] Эта сила направлена вертикально вниз (вдоль оси \(z\)) и приложена в середине отрезка \(AB\). Плечо этой силы относительно оси \(x\) (проходящей через точку \(O\)) равно половине длины \(AB\): \[d_q = \frac{AB}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ м}\] Момент от силы \(Q\) относительно оси \(x\): \[M_x(Q) = Q \cdot d_q = 13,4 \cdot 1 = 13,4 \text{ кН}\cdot\text{м}\] 2. Сосредоточенная сила \(F\): По условию \(BD \parallel Ox\) и сила \(F\) направлена параллельно оси \(x\). Сила \(F\) приложена в точке \(D\). Координаты точки \(D\) относительно \(O\): По оси \(z\): \(z_D = OA - \sqrt{BD^2 - AB^2}\) (так как \(BD\) — гипотенуза в проекции на плоскость \(zy\), но в условии сказано \(BD \parallel Ox\)). Уточним геометрию: если \(BD \parallel Ox\), то плечо силы \(F\) относительно оси \(z\) равно расстоянию от линии действия силы до оси \(z\). Линия действия силы \(F\) проходит через точку \(D\). Расстояние от \(D\) до оси \(z\) по оси \(y\) равно длине \(AB = 2\) м. Расстояние от \(D\) до оси \(y\) по оси \(z\) равно высоте \(OA = 1,7\) м. Так как сила \(F\) параллельна \(Ox\), она создает моменты относительно осей \(y\) и \(z\). Момент силы \(F\) относительно оси \(z\): \[M_z(F) = F \cdot AB = 2 \cdot 2 = 4 \text{ кН}\cdot\text{м}\] Момент силы \(F\) относительно оси \(y\): \[M_y(F) = F \cdot OA = 2 \cdot 1,7 = 3,4 \text{ кН}\cdot\text{м}\] 3. Результирующий момент в заделке \(M_O\): Результирующий момент определяется как корень из суммы квадратов моментов по осям: \[M_O = \sqrt{M_x^2 + M_y^2 + M_z^2}\] \[M_O = \sqrt{13,4^2 + 3,4^2 + 4^2}\] \[M_O = \sqrt{179,56 + 11,56 + 16}\] \[M_O = \sqrt{207,12} \approx 14,39 \text{ кН}\cdot\text{м}\] Ответ: Результирующий момент заделки составляет \(14,39\) кН·м.