Решение задачи на равновесие бруса, прислоненного к стене

Дано: \( \alpha = 5^{\circ} \) Стена гладкая (трения в точке \( A \) нет). Найти: \( \mu_{min} \) Решение: 1. Рассмотрим силы, действующие на брус: - Сила тяжести \( m\vec{g} \), приложенная к центру бруса (точка \( C \)). - Реакция гладкой стены \( \vec{N}_A \), направленная перпендикулярно стене (горизонтально). - Реакция пола \( \vec{N}_B \), направленная вертикально вверх. - Сила трения \( \vec{F}_{тр} \), направленная горизонтально к стене, чтобы брус не соскользнул. 2. Запишем условия равновесия бруса: Сумма сил на горизонтальную ось \( x \): \[ N_A - F_{тр} = 0 \Rightarrow F_{тр} = N_A \] Сумма сил на вертикальную ось \( y \): \[ N_B - mg = 0 \Rightarrow N_B = mg \] 3. Запишем уравнение моментов сил относительно точки \( B \) (основание бруса). Пусть длина бруса равна \( L \). \[ N_A \cdot L \cos \alpha - mg \cdot \frac{L}{2} \sin \alpha = 0 \] Разделим уравнение на \( L \) и выразим \( N_A \): \[ N_A \cos \alpha = \frac{mg}{2} \sin \alpha \] \[ N_A = \frac{mg}{2} \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{mg}{2} \text{tg} \alpha \] 4. По закону Амонтона-Кулона для предельного случая равновесия: \[ F_{тр} = \mu N_B \] Подставим значения \( F_{тр} = N_A \) и \( N_B = mg \): \[ N_A = \mu mg \] \[ \frac{mg}{2} \text{tg} \alpha = \mu mg \] 5. Сократим на \( mg \) и найдем коэффициент трения: \[ \mu = \frac{1}{2} \text{tg} \alpha \] 6. Подставим числовое значение \( \alpha = 5^{\circ} \): \[ \mu = \frac{1}{2} \text{tg} 5^{\circ} \] Используя значение \( \text{tg} 5^{\circ} \approx 0,0875 \): \[ \mu \approx \frac{0,0875}{2} \approx 0,04375 \] Округлим до тысячных: \[ \mu \approx 0,044 \] Ответ: \( \mu_{min} = 0,044 \)