Решение задачи: Максимальный вес катка на наклонной плоскости

Дано: \(R = 8,3\) м \(M = 1\) Н·м \(\delta = 0,006\) м \(\alpha = 60^{\circ}\) Найти: \(P_{max}\) (наибольший вес катка) Решение: Для того чтобы каток мог катиться вверх по наклонной плоскости под действием приложенного момента \(M\), этот момент должен преодолеть момент сопротивления качению и момент от составляющей веса, препятствующей движению. 1. Составим уравнение моментов относительно точки контакта катка с плоскостью (с учетом смещения нормальной реакции на величину плеча трения качения \(\delta\)). Условие начала качения вверх: \[M \ge M_{сопр} + M_{P}\] 2. Момент сопротивления качению определяется формулой: \[M_{сопр} = N \cdot \delta\] где \(N\) — нормальная реакция опоры. Из условия равновесия сил на ось, перпендикулярную плоскости: \[N = P \cdot \cos(\alpha)\] Следовательно: \[M_{сопр} = P \cdot \cos(\alpha) \cdot \delta\] 3. Момент от силы тяжести (веса), препятствующий движению вверх: \[M_{P} = P \cdot \sin(\alpha) \cdot R\] 4. Подставим выражения в основное неравенство: \[M \ge P \cdot \cos(\alpha) \cdot \delta + P \cdot \sin(\alpha) \cdot R\] 5. Вынесем \(P\) за скобки: \[M \ge P \cdot (\delta \cdot \cos(\alpha) + R \cdot \sin(\alpha))\] 6. Выразим вес \(P\): \[P \le \frac{M}{\delta \cdot \cos(\alpha) + R \cdot \sin(\alpha)}\] Наибольший вес \(P_{max}\) будет при равенстве: \[P_{max} = \frac{M}{\delta \cdot \cos(60^{\circ}) + R \cdot \sin(60^{\circ})}\] 7. Подставим числовые значения: \(\cos(60^{\circ}) = 0,5\) \(\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866\) \[P_{max} = \frac{1}{0,006 \cdot 0,5 + 8,3 \cdot 0,866}\] \[P_{max} = \frac{1}{0,003 + 7,1878}\] \[P_{max} = \frac{1}{7,1908} \approx 0,139 \text{ Н}\] Ответ: \(P_{max} \approx 0,139\) Н.