Задача: Установившееся значение тока в цепи с конденсатором

Задание 1. Установившееся значение тока — это значение тока в электрической цепи по завершении всех переходных процессов, когда параметры цепи перестают изменяться во времени (при неизменном внешнем воздействии). Методика определения для цепи постоянного тока: В установившемся режиме постоянного тока индуктивности рассматриваются как короткозамкнутые участки (проводники с нулевым сопротивлением), а конденсаторы — как разрывы цепи (бесконечное сопротивление). Для приведенной схемы: В цепи присутствует конденсатор \( C \). Так как источник \( E \) является источником постоянного напряжения, то после завершения процесса зарядки конденсатора ток в ветви прекратится. Расчет: \[ I_{уст} = 0 \text{ А} \] Ответ: Установившееся значение тока равно 0 А, так как конденсатор в цепи постоянного тока представляет собой разрыв. Задание 2. Дано: \( X_1 = 80 \text{ Ом} \) (индуктивное сопротивление \( jX_1 \)) \( X_2 = 60 \text{ Ом} \) (емкостное сопротивление \( -jX_2 \)) \( X_3 = 100 \text{ Ом} \) (индуктивное сопротивление \( jX_3 \)) \( R_1 = R_2 = 100 \text{ Ом} \) \( U = 220 \text{ В} \) Решение классическим методом (методом комплексных чисел): Примем начальную фазу напряжения равной нулю: \( \dot{U} = 220 \text{ В} \). 1. Найдем комплексные сопротивления ветвей. Левая ветвь: \( \underline{Z}_1 = R_1 + jX_1 = 100 + j80 \text{ Ом} \). Средняя ветвь: \( \underline{Z}_2 = R_2 - jX_2 = 100 - j60 \text{ Ом} \). Правая ветвь: \( \underline{Z}_3 = jX_3 = j100 \text{ Ом} \). 2. Схема представляет собой параллельное соединение трех ветвей. Напряжение на каждой ветви равно \( \dot{U} \). Ток в резисторе \( R_2 \) — это ток во второй ветви \( \dot{I}_2 \). 3. Вычислим ток \( \dot{I}_2 \): \[ \dot{I}_2 = \frac{\dot{U}}{\underline{Z}_2} = \frac{220}{100 - j60} \] Умножим числитель и знаменатель на сопряженное число \( (100 + j60) \): \[ \dot{I}_2 = \frac{220 \cdot (100 + j60)}{100^2 + 60^2} = \frac{22000 + j13200}{10000 + 3600} = \frac{22000 + j13200}{13600} \] \[ \dot{I}_2 \approx 1,618 + j0,971 \text{ А} \] 4. Найдем действующее значение тока (модуль): \[ I_2 = \sqrt{1,618^2 + 0,971^2} = \sqrt{2,618 + 0,943} = \sqrt{3,561} \approx 1,887 \text{ А} \] Ответ: Ток на резисторе \( R_2 \) составляет примерно 1,89 А. Задание 3. Дано: \( R = 1 \text{ Ом} \) \( U(p) = \frac{3}{p^2 + 5p + 4} \) Решение: 1. По закону Ома в операторной форме ток равен: \[ I(p) = \frac{U(p)}{R} = \frac{3}{1 \cdot (p^2 + 5p + 4)} = \frac{3}{p^2 + 5p + 4} \] 2. Разложим знаменатель на множители. Решим уравнение \( p^2 + 5p + 4 = 0 \): Корни по теореме Виета: \( p_1 = -1 \), \( p_2 = -4 \). Следовательно: \( I(p) = \frac{3}{(p + 1)(p + 4)} \). 3. Разложим дробь на элементарные слагаемые: \[ \frac{3}{(p + 1)(p + 4)} = \frac{A}{p + 1} + \frac{B}{p + 4} \] Находим коэффициенты: Для \( A \): \( A = \frac{3}{p + 4} \Big|_{p=-1} = \frac{3}{3} = 1 \). Для \( B \): \( B = \frac{3}{p + 1} \Big|_{p=-4} = \frac{3}{-3} = -1 \). Получаем: \( I(p) = \frac{1}{p + 1} - \frac{1}{p + 4} \). 4. Перейдем к оригиналу (мгновенному значению) по таблице обратного преобразования Лапласа, где оригинал для \( \frac{1}{p + a} \) есть \( e^{-at} \): \[ i(t) = e^{-t} - e^{-4t} \text{ А} \] Ответ: \( i(t) = e^{-t} - e^{-4t} \text{ А} \).