Решение задачи: sin²(uxx + uxy) + cos²(uxx + uxy) - u = 1

Задание 4. Рассмотрим данное равенство: \[ \sin^2(u_{xx} + u_{xy}) + \cos^2(u_{xx} + u_{xy}) - u = 1 \] Для решения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] В нашем случае аргумент \( \alpha = u_{xx} + u_{xy} \). Следовательно, сумма квадратов синуса и косинуса всегда равна единице независимо от значений производных: \[ 1 - u = 1 \] Перенесем единицу в правую часть: \[ -u = 1 - 1 \] \[ u = 0 \] Вывод: Данное равенство не является дифференциальным уравнением в частных производных, так как после упрощения все производные сокращаются. Это обычное алгебраическое уравнение относительно функции \( u \), решением которого является \( u(x, y) = 0 \). Задание 5. Дано уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами от трех переменных: \[ 2u_{xx} + 5u_{yy} + 2u_{zz} - 6u_{xy} - 4u_{xz} + 6u_{yz} - 3u + \dots = 0 \] Для приведения к каноническому виду составим матрицу квадратичной формы из коэффициентов при старших производных \( a_{ij} \): \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -2 \\ -3 & 5 & 3 \\ -2 & 3 & 2 \end{pmatrix} \] (Коэффициенты при смешанных производных делятся пополам для симметрии матрицы). Найдем собственные значения матрицы \( \lambda \), решив характеристическое уравнение \( \det(A - \lambda E) = 0 \): \[ \begin{vmatrix} 2-\lambda & -3 & -2 \\ -3 & 5-\lambda & 3 \\ -2 & 3 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0 \] Раскроем определитель: \[ (2-\lambda)((5-\lambda)(2-\lambda) - 9) + 3(-3(2-\lambda) + 6) - 2(-9 + 2(5-\lambda)) = 0 \] \[ (2-\lambda)(\lambda^2 - 7\lambda + 10 - 9) + 3(3\lambda) - 2(-2\lambda + 1) = 0 \] \[ (2-\lambda)(\lambda^2 - 7\lambda + 1) + 9\lambda + 4\lambda - 2 = 0 \] \[ 2\lambda^2 - 14\lambda + 2 - \lambda^3 + 7\lambda^2 - \lambda + 13\lambda - 2 = 0 \] \[ -\lambda^3 + 9\lambda^2 - 2\lambda = 0 \] \[ \lambda(\lambda^2 - 9\lambda + 2) = 0 \] Собственные значения: \[ \lambda_1 = 0 \] \[ \lambda_{2,3} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 8}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{73}}{2} \] Так как одно из собственных значений равно нулю (\( \lambda_1 = 0 \)), а остальные два одного знака (\( \lambda_2 > 0, \lambda_3 > 0 \)), то уравнение относится к параболическому типу. Канонический вид уравнения в новых координатах \( \xi, \eta, \zeta \): \[ \lambda_2 u_{\eta\eta} + \lambda_3 u_{\zeta\zeta} + \dots = 0 \] \[ \frac{9 + \sqrt{73}}{2} u_{\eta\eta} + \frac{9 - \sqrt{73}}{2} u_{\zeta\zeta} + \dots = 0 \]