Решение задач из экзаменационного билета

Ниже представлено решение первых четырех задач из экзаменационного билета в форме, удобной для записи в тетрадь. Задача 1. Исследовать на сходимость числовой ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^n} \] Решение: Воспользуемся признаком Даламбера. Общий член ряда: \[ a_n = \frac{1}{n \cdot 2^n} \] Найдем следующий член ряда: \[ a_{n+1} = \frac{1}{(n+1) \cdot 2^{n+1}} \] Вычислим предел отношения: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n \cdot 2^n}{(n+1) \cdot 2^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2(n+1)} = \frac{1}{2} \] Так как \( L = \frac{1}{2} < 1 \), то по признаку Даламбера ряд сходится. Ответ: ряд сходится. Задача 2. Найти область сходимости степенного ряда \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^{2n-1}}{2n-1} \] Решение: Найдем радиус сходимости \( R \). Для этого ряда воспользуемся признаком Даламбера для абсолютных величин: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \cdot \frac{2n-1}{x^{2n-1}} \right| = x^2 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{2n+1} = x^2 \] Ряд сходится, если \( x^2 < 1 \), то есть \( |x| < 1 \). Интервал сходимости: \( (-1; 1) \). Проверим границы: 1) При \( x = 1 \): ряд \( \sum \frac{(-1)^{n+1}}{2n-1} \) сходится по признаку Лейбница. 2) При \( x = -1 \): ряд \( \sum \frac{(-1)^{n+1} (-1)^{2n-1}}{2n-1} = \sum \frac{(-1)^{3n}}{2n-1} \) также сходится по признаку Лейбница. Ответ: область сходимости \( [-1; 1] \). Задача 3. Найти производную поля \( u(x, y, z) = x + \ln(y^2 + z^2) \) в точке \( M(2; 1; 1) \) по направлению \( \vec{a} = -2\vec{i} + \vec{j} - \vec{k} \). Решение: 1) Найдем градиент функции в точке \( M \): \[ \frac{\partial u}{\partial x} = 1 \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{2y}{y^2 + z^2} \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y}(M) = \frac{2 \cdot 1}{1^2 + 1^2} = 1 \] \[ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{2z}{y^2 + z^2} \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial z}(M) = \frac{2 \cdot 1}{1^2 + 1^2} = 1 \] \[ \text{grad } u(M) = (1; 1; 1) \] 2) Найдем направляющие косинусы вектора \( \vec{a} = (-2; 1; -1) \): \[ |\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6} \] \[ \vec{a}^0 = \left( -\frac{2}{\sqrt{6}}; \frac{1}{\sqrt{6}}; -\frac{1}{\sqrt{6}} \right) \] 3) Производная по направлению: \[ \frac{\partial u}{\partial \vec{a}} = \text{grad } u \cdot \vec{a}^0 = 1 \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{6}}\right) + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} + 1 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) = -\frac{2}{\sqrt{6}} \] Ответ: \( -\frac{2}{\sqrt{6}} \). Задача 4. Вычислить двойной интеграл \[ \iint_D (x + y^3) dx dy, \quad D: \{ 1 \le x \le 2, 0 \le y \le 2 \} \] Решение: Перейдем к повторному интегралу: \[ I = \int_1^2 dx \int_0^2 (x + y^3) dy = \int_1^2 \left[ xy + \frac{y^4}{4} \right]_0^2 dx \] \[ I = \int_1^2 (2x + \frac{16}{4}) dx = \int_1^2 (2x + 4) dx \] \[ I = [x^2 + 4x]_1^2 = (4 + 8) - (1 + 4) = 12 - 5 = 7 \] Ответ: 7.