Решение уравнения ∂z/∂x - ∂z/∂y = x - y методом характеристик

Задание: Найти общее решение уравнения: \[ \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y} = x - y \] Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка. Для его решения воспользуемся методом характеристик. 1. Составим систему уравнений характеристик: \[ \frac{dx}{1} = \frac{dy}{-1} = \frac{dz}{x - y} \] 2. Найдем первый интеграл из равенства первых двух дробей: \[ \frac{dx}{1} = \frac{dy}{-1} \] \[ dx = -dy \] \[ dx + dy = 0 \] Интегрируя, получаем: \[ x + y = C_1 \] 3. Найдем второй интеграл. Используем свойство равных дробей. Заметим, что: \[ dx - dy = 1 \cdot dx - (-1) \cdot dy = dx + dy \] — это нам не подходит напрямую. Возьмем комбинацию \( dx - dy \): \[ dx - dy = 1 - (-1) = 2 \] Тогда из системы характеристик: \[ \frac{dx - dy}{1 - (-1)} = \frac{dz}{x - y} \] \[ \frac{d(x - y)}{2} = \frac{dz}{x - y} \] 4. Решим полученное уравнение: \[ (x - y) d(x - y) = 2 dz \] Интегрируем обе части: \[ \int (x - y) d(x - y) = \int 2 dz \] \[ \frac{(x - y)^2}{2} = 2z + C \] Умножим на 2 для удобства: \[ (x - y)^2 = 4z + C_2 \] Отсюда выразим константу: \[ (x - y)^2 - 4z = C_2 \] 5. Общее решение записывается в виде произвольной функции от двух найденных интегралов: \[ \Phi(C_1, C_2) = 0 \] \[ \Phi(x + y, (x - y)^2 - 4z) = 0 \] Или, выражая \( z \): \[ 4z = (x - y)^2 + f(x + y) \] \[ z(x, y) = \frac{(x - y)^2}{4} + \psi(x + y) \] где \( \psi \) — произвольная дифференцируемая функция. Ответ: \( z(x, y) = \frac{(x - y)^2}{4} + \psi(x + y) \)