Решение уравнения в частных производных x²∂z/∂x + y²∂z/∂y = z²

Задание: Найти общее решение уравнения в частных производных: \[ x^2 \frac{\partial z}{\partial x} + y^2 \frac{\partial z}{\partial y} = z^2 \] Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением в частных производных первого порядка. Для его решения воспользуемся методом характеристик. Составим систему обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнения характеристик): \[ \frac{dx}{x^2} = \frac{dy}{y^2} = \frac{dz}{z^2} \] Для нахождения общего решения нам нужно найти два независимых первых интеграла этой системы. 1. Рассмотрим первое равенство: \[ \frac{dx}{x^2} = \frac{dy}{y^2} \] Интегрируем обе части: \[ \int \frac{dx}{x^2} = \int \frac{dy}{y^2} \] \[ -\frac{1}{x} = -\frac{1}{y} + C_1 \] Отсюда получаем первый интеграл: \[ \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = C_1 \] 2. Рассмотрим второе равенство: \[ \frac{dy}{y^2} = \frac{dz}{z^2} \] Интегрируем аналогично: \[ \int \frac{dy}{y^2} = \int \frac{dz}{z^2} \] \[ -\frac{1}{y} = -\frac{1}{z} + C_2 \] Отсюда получаем второй интеграл: \[ \frac{1}{z} - \frac{1}{y} = C_2 \] Общее решение уравнения записывается в виде произвольной дифференцируемой функции \( \Phi(C_1, C_2) = 0 \), или в явном виде \( C_2 = f(C_1) \). Запишем общее решение: \[ \frac{1}{z} - \frac{1}{y} = f\left( \frac{1}{y} - \frac{1}{x} \right) \] где \( f \) — произвольная дифференцируемая функция. Выразим \( z \) в явном виде: \[ \frac{1}{z} = \frac{1}{y} + f\left( \frac{1}{y} - \frac{1}{x} \right) \] \[ z = \frac{1}{\frac{1}{y} + f\left( \frac{1}{y} - \frac{1}{x} \right)} \] Ответ: \[ \Phi\left( \frac{1}{y} - \frac{1}{x}, \frac{1}{z} - \frac{1}{y} \right) = 0 \] или \[ z = \frac{y}{1 + y \cdot f\left( \frac{x-y}{xy} \right)} \]