Решение задачи №4: Определение типа системы уравнений

Задача №4. Определить тип следующей системы уравнений: \[ \begin{cases} 2u_x + 3v_y + 3u_y - 2u = 0 \\ u_x + v_x - u + xy^2 = 0 \end{cases} \] Решение: Для определения типа системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка необходимо составить характеристическую матрицу и найти её определитель. Запишем систему в матричном виде относительно главных частей (производных): \[ A \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial x} + B \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial y} + \mathbf{C} = 0 \] где \( \mathbf{U} = \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \). Выпишем матрицы коэффициентов при производных \( u_x, v_x \) и \( u_y, v_y \): Матрица \( A \) (коэффициенты при производных по \( x \)): \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] Матрица \( B \) (коэффициенты при производных по \( y \)): \[ B = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] Составим характеристическое уравнение \( \det(A\lambda - B) = 0 \) (или \( \det(A - \mu B) = 0 \), либо через характеристическую форму \( \det(A\xi_1 + B\xi_2) = 0 \)). Воспользуемся формой \( \det(A\lambda + B) = 0 \): \[ \det \begin{pmatrix} 2\lambda + 3 & 3 \\ \lambda & 0 \end{pmatrix} = 0 \] Вычисляем определитель: \[ (2\lambda + 3) \cdot 0 - 3 \cdot \lambda = 0 \] \[ -3\lambda = 0 \] \[ \lambda = 0 \] Мы получили один вещественный корень \( \lambda = 0 \). Поскольку количество различных вещественных корней меньше числа уравнений в системе (в данном случае корень один, а уравнений два, и корень не является кратным в смысле наличия полного набора собственных векторов для гиперболичности), и определитель характеристической матрицы не является тождественным нулем, классификация проводится по корням характеристического уравнения. Так как уравнение имеет только один вещественный корень, данная система относится к параболическому типу. Ответ: Система параболического типа.