Решение уравнения u_xy + 4uu_x + 2u_x - 6x sin y = 0

Задание: Выяснить, является ли уравнение линейным (однородным или неоднородным) и нелинейным (квазилинейным): \[ u_{xy} + 2 \frac{\partial}{\partial x}(u^2 + u) - 6x \sin y = 0 \] Решение: 1. Для начала раскроем производную во втором слагаемом: \[ \frac{\partial}{\partial x}(u^2 + u) = \frac{\partial (u^2)}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial x} = 2u \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial x} \] 2. Подставим это в исходное уравнение: \[ u_{xy} + 2(2u u_x + u_x) - 6x \sin y = 0 \] \[ u_{xy} + 4u u_x + 2u_x - 6x \sin y = 0 \] 3. Проанализируем тип уравнения: - Линейность: Уравнение называется линейным, если неизвестная функция \( u \) и все её производные входят в уравнение в первой степени и не перемножаются между собой. В данном уравнении присутствует слагаемое \( 4u u_x \), где функция \( u \) умножается на свою производную. Следовательно, уравнение нелинейное. - Квазилинейность: Уравнение называется квазилинейным, если оно линейно относительно старших производных (в данном случае это \( u_{xy} \)). Так как \( u_{xy} \) входит в первой степени и его коэффициент не зависит от производных, уравнение является квазилинейным. - Однородность: Понятие однородности обычно применяется к линейным уравнениям. Однако, если рассматривать наличие слагаемых, не содержащих \( u \) и её производных (свободный член), то здесь присутствует \( -6x \sin y \). Если перенести его в правую часть: \[ u_{xy} + 4u u_x + 2u_x = 6x \sin y \] Наличие функции \( 6x \sin y \), зависящей только от независимых переменных, делает уравнение неоднородным. Вывод: Данное уравнение является нелинейным (а именно — квазилинейным) и неоднородным. Ответ: Уравнение нелинейное (квазилинейное) и неоднородное.