Решение: Приведение УрЧП к каноническому виду

Задача: Привести к каноническому виду уравнение в частных производных второго порядка: \[ u_{xx} - 2u_{xy} + u_{yy} + 9u_x + 9u_y - 9u = 0 \] Решение: 1. Определим коэффициенты при старших производных: \( a_{11} = 1 \), \( a_{12} = -1 \), \( a_{22} = 1 \). 2. Составим дискриминант уравнения: \[ D = a_{12}^2 - a_{11}a_{22} = (-1)^2 - 1 \cdot 1 = 1 - 1 = 0 \] Так как \( D = 0 \), уравнение относится к параболическому типу. 3. Составим характеристическое уравнение: \[ a_{11}(dy)^2 - 2a_{12}dxdy + a_{22}(dx)^2 = 0 \] \[ 1 \cdot (dy)^2 - 2 \cdot (-1)dxdy + 1 \cdot (dx)^2 = 0 \] \[ (dy)^2 + 2dxdy + (dx)^2 = 0 \] \[ (dy + dx)^2 = 0 \] Отсюда получаем одно семейство характеристик: \[ dy + dx = 0 \Rightarrow y + x = C \] 4. Введем новые переменные \( \xi \) и \( \eta \): Пусть \( \xi = x + y \). Вторую переменную \( \eta \) выберем произвольно, чтобы преобразование было невырожденным, например: \( \eta = x \). 5. Вычислим производные функции \( u \) через новые переменные: \[ u_x = u_{\xi} \cdot \xi_x + u_{\eta} \cdot \eta_x = u_{\xi} \cdot 1 + u_{\eta} \cdot 1 = u_{\xi} + u_{\eta} \] \[ u_y = u_{\xi} \cdot \xi_y + u_{\eta} \cdot \eta_y = u_{\xi} \cdot 1 + u_{\eta} \cdot 0 = u_{\xi} \] Найдем вторые производные: \[ u_{xx} = (u_{\xi} + u_{\eta})_x = u_{\xi\xi} + 2u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta} \] \[ u_{xy} = (u_{\xi} + u_{\eta})_y = u_{\xi\xi} + u_{\xi\eta} \] \[ u_{yy} = (u_{\xi})_y = u_{\xi\xi} \] 6. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: \[ (u_{\xi\xi} + 2u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta}) - 2(u_{\xi\xi} + u_{\xi\eta}) + u_{\xi\xi} + 9(u_{\xi} + u_{\eta}) + 9u_{\xi} - 9u = 0 \] Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \[ u_{\xi\xi} + 2u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta} - 2u_{\xi\xi} - 2u_{\xi\eta} + u_{\xi\xi} + 9u_{\xi} + 9u_{\eta} + 9u_{\xi} - 9u = 0 \] \[ u_{\eta\eta} + 18u_{\xi} + 9u_{\eta} - 9u = 0 \] Ответ: Канонический вид уравнения: \[ u_{\eta\eta} + 18u_{\xi} + 9u_{\eta} - 9u = 0 \] где \( \xi = x + y \), \( \eta = x \).