Решение уравнения в частных производных: приведение к каноническому виду

Задание: Привести к каноническому виду уравнение: \[ u_{xy} + 2u_{yy} - u_x + 4u_y + u = 0 \] Решение: 1. Определим коэффициенты при старших производных: \[ a_{11} = 0, \quad a_{12} = \frac{1}{2}, \quad a_{22} = 2 \] (Коэффициент \( a_{12} \) берется как половина коэффициента при \( u_{xy} \)). 2. Составим характеристическое уравнение: \[ a_{11}(dy)^2 - 2a_{12}dxdy + a_{22}(dx)^2 = 0 \] \[ 0 \cdot (dy)^2 - 1 \cdot dxdy + 2(dx)^2 = 0 \] \[ -dxdy + 2(dx)^2 = 0 \] \[ dx(2dx - dy) = 0 \] 3. Найдем характеристики, решив полученные обыкновенные дифференциальные уравнения: Первое уравнение: \[ dx = 0 \Rightarrow x = C_1 \] Второе уравнение: \[ 2dx - dy = 0 \Rightarrow dy = 2dx \Rightarrow y = 2x + C_2 \Rightarrow y - 2x = C_2 \] 4. Введем новые переменные \( \xi \) и \( \eta \): \[ \xi = x, \quad \eta = y - 2x \] 5. Вычислим производные функции \( u \) по старым переменным через новые: \[ u_x = u_{\xi} \cdot \xi_x + u_{\eta} \cdot \eta_x = u_{\xi} \cdot 1 + u_{\eta} \cdot (-2) = u_{\xi} - 2u_{\eta} \] \[ u_y = u_{\xi} \cdot \xi_y + u_{\eta} \cdot \eta_y = u_{\xi} \cdot 0 + u_{\eta} \cdot 1 = u_{\eta} \] Теперь вторые производные: \[ u_{xy} = (u_x)_y = (u_{\xi} - 2u_{\eta})_y = u_{\xi\eta} \cdot 1 - 2u_{\eta\eta} \cdot 1 = u_{\xi\eta} - 2u_{\eta\eta} \] \[ u_{yy} = (u_y)_y = (u_{\eta})_y = u_{\eta\eta} \cdot 1 = u_{\eta\eta} \] 6. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: \[ (u_{\xi\eta} - 2u_{\eta\eta}) + 2(u_{\eta\eta}) - (u_{\xi} - 2u_{\eta}) + 4(u_{\eta}) + u = 0 \] Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \[ u_{\xi\eta} - 2u_{\eta\eta} + 2u_{\eta\eta} - u_{\xi} + 2u_{\eta} + 4u_{\eta} + u = 0 \] \[ u_{\xi\eta} - u_{\xi} + 6u_{\eta} + u = 0 \] Ответ: Канонический вид уравнения: \[ u_{\xi\eta} - u_{\xi} + 6u_{\eta} + u = 0 \] где \( \xi = x, \eta = y - 2x \).