Решение краевой задачи: собственные значения и собственные функции

Задача: Найти собственные значения и собственные функции краевой задачи: \[ y'' + \lambda y = 0, \quad 0 < x < 6 \] \[ y'(0) = y(6) = 0 \] Решение: Рассмотрим три возможных случая для параметра \( \lambda \). 1. Случай \( \lambda < 0 \). Пусть \( \lambda = -k^2 \), где \( k > 0 \). Тогда уравнение принимает вид: \[ y'' - k^2 y = 0 \] Общее решение: \[ y(x) = C_1 \cosh(kx) + C_2 \sinh(kx) \] Найдем производную: \[ y'(x) = C_1 k \sinh(kx) + C_2 k \cosh(kx) \] Используем граничные условия: \[ y'(0) = C_1 k \cdot 0 + C_2 k \cdot 1 = 0 \implies C_2 = 0 \] \[ y(6) = C_1 \cosh(6k) = 0 \] Так как \( \cosh(6k) \neq 0 \) для любых \( k \), то \( C_1 = 0 \). Получаем только тривиальное решение \( y(x) = 0 \). Собственных значений нет. 2. Случай \( \lambda = 0 \). Уравнение принимает вид: \[ y'' = 0 \] Общее решение: \[ y(x) = C_1 x + C_2 \] Производная: \[ y'(x) = C_1 \] Граничные условия: \[ y'(0) = C_1 = 0 \] \[ y(6) = C_1 \cdot 6 + C_2 = 0 \implies 0 + C_2 = 0 \implies C_2 = 0 \] Снова получаем только тривиальное решение. \( \lambda = 0 \) не является собственным значением. 3. Случай \( \lambda > 0 \). Пусть \( \lambda = k^2 \), где \( k > 0 \). Уравнение: \[ y'' + k^2 y = 0 \] Общее решение: \[ y(x) = C_1 \cos(kx) + C_2 \sin(kx) \] Производная: \[ y'(x) = -C_1 k \sin(kx) + C_2 k \cos(kx) \] Применим граничные условия: \[ y'(0) = -C_1 k \cdot 0 + C_2 k \cdot 1 = 0 \implies C_2 = 0 \] Тогда \( y(x) = C_1 \cos(kx) \). \[ y(6) = C_1 \cos(6k) = 0 \] Для существования ненулевого решения (\( C_1 \neq 0 \)) необходимо: \[ \cos(6k) = 0 \] \[ 6k = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n = 0, 1, 2, \dots \] \[ k_n = \frac{\pi(2n + 1)}{12} \] Собственные значения: \[ \lambda_n = k_n^2 = \left( \frac{\pi(2n + 1)}{12} \right)^2, \quad n = 0, 1, 2, \dots \] Собственные функции: \[ y_n(x) = \cos\left( \frac{\pi(2n + 1)}{12} x \right) \] Ответ: Собственные значения: \( \lambda_n = \frac{\pi^2 (2n+1)^2}{144} \), где \( n = 0, 1, 2, \dots \) Собственные функции: \( y_n(x) = \cos\left( \frac{(2n+1)\pi}{12} x \right) \)