Решение задачи №2. Метод контурных токов

Задача №2. Определение токов методом контурных токов. Дано: \[ \dot{E}_1 = j100 \text{ В} \] \[ \dot{E}_2 = 100 \text{ В} \] \[ X_1 = 10 \text{ Ом (индуктивное сопротивление, } \underline{Z}_1 = j10 \text{ Ом)} \] \[ X_2 = 10 \text{ Ом (емкостное сопротивление, } \underline{Z}_2 = -j10 \text{ Ом)} \] \[ R_1 = 20 \text{ Ом} \] Решение: 1. Выберем направления контурных токов. Пусть в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток \( \dot{I}_{11} \), а в правом контуре против часовой стрелки — контурный ток \( \dot{I}_{22} \). 2. Составим систему уравнений по методу контурных токов: \[ \begin{cases} \dot{I}_{11}(\underline{Z}_1 + R_1) + \dot{I}_{22} \cdot R_1 = \dot{E}_1 \\ \dot{I}_{22}(\underline{Z}_2 + R_1) + \dot{I}_{11} \cdot R_1 = \dot{E}_2 \end{cases} \] Подставим численные значения: \[ \begin{cases} \dot{I}_{11}(20 + j10) + \dot{I}_{22} \cdot 20 = j100 \\ \dot{I}_{11} \cdot 20 + \dot{I}_{22}(20 - j10) = 100 \end{cases} \] 3. Решим систему уравнений. Выразим \( \dot{I}_{11} \) из первого уравнения: \[ \dot{I}_{11} = \frac{j100 - 20\dot{I}_{22}}{20 + j10} \] Подставим во второе уравнение: \[ 20 \cdot \frac{j100 - 20\dot{I}_{22}}{20 + j10} + \dot{I}_{22}(20 - j10) = 100 \] Умножим все уравнение на \( (20 + j10) \): \[ 20(j100 - 20\dot{I}_{22}) + \dot{I}_{22}(20 - j10)(20 + j10) = 100(20 + j10) \] \[ j2000 - 400\dot{I}_{22} + \dot{I}_{22}(400 + 100) = 2000 + j1000 \] \[ j2000 - 400\dot{I}_{22} + 500\dot{I}_{22} = 2000 + j1000 \] \[ 100\dot{I}_{22} = 2000 - j1000 \] \[ \dot{I}_{22} = 20 - j10 \text{ А} \] Теперь найдем \( \dot{I}_{11} \): \[ \dot{I}_{11} = \frac{j100 - 20(20 - j10)}{20 + j10} = \frac{j100 - 400 + j200}{20 + j10} = \frac{-400 + j300}{20 + j10} \] \[ \dot{I}_{11} = \frac{(-400 + j300)(20 - j10)}{(20 + j10)(20 - j10)} = \frac{-8000 + j4000 + j6000 + 3000}{500} \] \[ \dot{I}_{11} = \frac{-5000 + j10000}{500} = -10 + j20 \text{ А} \] 4. Определим реальные токи в ветвях: Ток в левой ветви: \[ \dot{I}_1 = \dot{I}_{11} = -10 + j20 \text{ А} \] Ток в правой ветви: \[ \dot{I}_2 = \dot{I}_{22} = 20 - j10 \text{ А} \] Ток в средней ветви (через \( R_1 \)): \[ \dot{I}_{R1} = \dot{I}_{11} + \dot{I}_{22} = (-10 + j20) + (20 - j10) = 10 + j10 \text{ А} \] Ответ: \[ \dot{I}_1 = -10 + j20 \text{ А} \] \[ \dot{I}_2 = 20 - j10 \text{ А} \] \[ \dot{I}_{R1} = 10 + j10 \text{ А} \]