Решение задачи: Главный момент силы в точке A

Дано: \(M = 8 \, \text{Н}\cdot\text{м}\) \(F = 26 \, \text{Н}\) \(\beta = \gamma = 60^\circ\) \(b = 2 \, \text{м}\), \(a = 1 \, \text{м}\), \(c = 2 \, \text{м}\) Найти: \(M_A\) — модуль главного момента в точке \(A\). Решение: 1. Главный момент системы в точке \(A\) складывается из момента пары сил \(\vec{M}\) и момента силы \(\vec{F}\) относительно точки \(A\): \[ \vec{M}_A = \vec{M} + \vec{m}_A(\vec{F}) \] 2. Определим координаты точки приложения силы \(F\) (пусть это точка \(K\)) и точки \(A\) в системе координат \(Oxyz\): Точка \(A\): \(x_A = a = 1\), \(y_A = 0\), \(z_A = c = 2\). Точка \(K\): \(x_K = a = 1\), \(y_K = b = 2\), \(z_K = c = 2\). Вектор плеча \(\vec{r} = \vec{AK}\): \[ \vec{r} = (x_K - x_A)\vec{i} + (y_K - y_A)\vec{j} + (z_K - z_A)\vec{k} = 0\vec{i} + 2\vec{j} + 0\vec{k} \] 3. Найдем направляющий косинус \(\cos \alpha\) силы \(\vec{F}\). Так как \(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1\): \[ \cos^2 \alpha + \cos^2 60^\circ + \cos^2 60^\circ = 1 \] \[ \cos^2 \alpha + 0.25 + 0.25 = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = 0.5 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Проекции силы \(\vec{F}\): \(F_x = F \cos \alpha = 26 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 13\sqrt{2}\) \(F_y = F \cos \beta = 26 \cdot 0.5 = 13\) \(F_z = F \cos \gamma = 26 \cdot 0.5 = 13\) 4. Вычислим момент силы \(\vec{F}\) относительно точки \(A\): \[ \vec{m}_A(\vec{F}) = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & 0 \\ 13\sqrt{2} & 13 & 13 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 13 - 0) - \vec{j}(0) + \vec{k}(0 - 2 \cdot 13\sqrt{2}) \] \[ \vec{m}_A(\vec{F}) = 26\vec{i} - 26\sqrt{2}\vec{k} \] 5. Вектор момента пары \(\vec{M}\) направлен вдоль оси \(z\): \(\vec{M} = 8\vec{k}\). Суммарный момент \(\vec{M}_A\): \[ \vec{M}_A = 26\vec{i} + (8 - 26\sqrt{2})\vec{k} \] 6. Вычислим модуль главного момента: \[ M_A = \sqrt{26^2 + (8 - 26\sqrt{2})^2} \] \[ 26\sqrt{2} \approx 26 \cdot 1.414 \approx 36.76 \] \[ M_A = \sqrt{676 + (8 - 36.76)^2} = \sqrt{676 + (-28.76)^2} \approx \sqrt{676 + 827.14} \approx \sqrt{1503.14} \approx 38.77 \, \text{Н}\cdot\text{м} \] Ответ: \(M_A \approx 38.77 \, \text{Н}\cdot\text{м}\).