Решение задачи: Найти абсолютную скорость точки M

Дано: \(R = 5,5\) м \(s = OM = 0,3t\) \(\phi = 0,4t\) рад Найти: \(V_{abs}\) Решение: Абсолютная скорость точки при сложном движении определяется как векторная сумма относительной и переносной скоростей: \[\vec{V}_{abs} = \vec{V}_r + \vec{V}_e\] 1. Относительная скорость \(V_r\) — это скорость движения точки \(M\) по ободу диска. Она находится как производная от закона движения по дуге: \[V_r = \frac{ds}{dt} = \frac{d(0,3t)}{dt} = 0,3 \text{ м/с}\] На рисунке вектор \(\vec{V}_r\) направлен по касательной к ободу вниз. 2. Переносная скорость \(V_e\) — это скорость той точки диска, с которой в данный момент совпадает точка \(M\), обусловленная вращением диска вокруг оси \(O\). Формула переносной скорости: \[V_e = \omega \cdot L\] где \(\omega\) — угловая скорость диска, \(L\) — расстояние от оси вращения \(O\) до точки \(M\). Найдем угловую скорость: \[\omega = \frac{d\phi}{dt} = \frac{d(0,4t)}{dt} = 0,4 \text{ рад/с}\] Найдем расстояние \(L = OM\). Из геометрии рисунка видно, что точка \(M\) находится на горизонтальной линии, проходящей через центр диска. Расстояние от оси \(O\) (верхняя точка диска) до центра равно \(R\). Расстояние от центра до точки \(M\) также равно \(R\). Тогда по теореме Пифагора для треугольника с катетами \(R\) и \(R\): \[L = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}\] \[L = 5,5 \cdot \sqrt{2} \approx 5,5 \cdot 1,414 \approx 7,777 \text{ м}\] Вычислим переносную скорость: \[V_e = 0,4 \cdot 5,5\sqrt{2} = 2,2\sqrt{2} \approx 3,111 \text{ м/с}\] 3. Определение абсолютной скорости. Вектор \(\vec{V}_r\) направлен вертикально вниз. Вектор \(\vec{V}_e\) направлен перпендикулярно отрезку \(OM\). Так как \(OM\) является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника, угол между \(OM\) и вертикалью составляет \(45^\circ\). Следовательно, вектор \(\vec{V}_e\) также составляет угол \(45^\circ\) с горизонтом (или вертикалью). Однако, в задачах такого типа часто подразумевается расчет для мгновенного состояния. Заметим, что векторы \(\vec{V}_r\) и \(\vec{V}_e\) в данной конфигурации образуют угол \(\alpha = 45^\circ\). Используем теорему косинусов для сложения векторов: \[V_{abs} = \sqrt{V_r^2 + V_e^2 + 2 \cdot V_r \cdot V_e \cdot \cos(45^\circ)}\] \[V_{abs} = \sqrt{0,3^2 + (2,2\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 0,3 \cdot 2,2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}\] \[V_{abs} = \sqrt{0,09 + 9,68 + 1,32} = \sqrt{11,09} \approx 3,33 \text{ м/с}\] Ответ: \(V_{abs} \approx 3,33 \text{ м/с}\)