Решение Задачи: Определение Угловой Скорости Ползуна

Дано: \(v_1 = 6,3\) м/с \(l = 40\) см \(= 0,4\) м \(\alpha = 60^\circ\) Найти: \(\omega_2\) — ? Решение: Рассмотрим движение точки \(A\), принадлежащей стержню 1. Эта точка движется вертикально вверх со скоростью \(v_A = v_1\). С другой стороны, точка \(A\) совершает сложное движение относительно кулисы 2. Согласно теореме о сложении скоростей: \[\vec{v}_A = \vec{v}_{отн} + \vec{v}_{пер}\] где: \(\vec{v}_{отн}\) — относительная скорость ползуна вдоль кулисы 2; \(\vec{v}_{пер}\) — переносная скорость точки кулисы, совпадающей в данный момент с точкой \(A\). Переносная скорость направлена перпендикулярно кулисе \(OA\) и определяется по формуле: \[v_{пер} = \omega_2 \cdot OA\] Из геометрических соображений в прямоугольном треугольнике (образованном расстоянием \(l\), вертикалью и кулисой): \[OA = \frac{l}{\cos(90^\circ - \alpha)} = \frac{l}{\sin \alpha}\] Или, глядя на чертеж, расстояние от оси \(O\) до вертикали стержня 1 равно \(l\). Тогда расстояние \(OA\) вдоль кулисы: \[OA = \frac{l}{\cos(30^\circ)}\] Так как угол между кулисой и горизонтом \(60^\circ\), то угол между кулисой и вертикалью составляет \(30^\circ\). \[OA = \frac{0,4}{\cos 30^\circ} = \frac{0,4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{0,8}{\sqrt{3}}\text{ м}\] Спроектируем векторное равенство скоростей на направление, перпендикулярное кулисе 2. Относительная скорость \(\vec{v}_{отн}\) направлена вдоль кулисы, поэтому её проекция равна нулю. Угол между вектором \(\vec{v}_1\) и перпендикуляром к кулисе равен \(\alpha = 60^\circ\). \[v_1 \cdot \cos \alpha = v_{пер}\] \[v_1 \cdot \cos 60^\circ = \omega_2 \cdot OA\] Выразим угловую скорость \(\omega_2\): \[\omega_2 = \frac{v_1 \cdot \cos 60^\circ}{OA}\] Подставим значение \(OA\): \[\omega_2 = \frac{v_1 \cdot \cos 60^\circ \cdot \cos 30^\circ}{l}\] Подставим числовые значения: \[\omega_2 = \frac{6,3 \cdot 0,5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{0,4} = \frac{6,3 \cdot 0,5 \cdot 0,866}{0,4} \approx \frac{2,728}{0,4} \approx 6,82\text{ рад/с}\] Проверим расчет точнее: \[\omega_2 = \frac{6,3 \cdot 0,5 \cdot \sqrt{3}}{0,4 \cdot 2} = \frac{3,15 \cdot 1,732}{0,8} \approx 6,82\text{ рад/с}\] Ответ: \(\omega_2 \approx 6,82\) рад/с.