Решение задач на площадь треугольника и параллелограмма

Задача 1. Дано: \(a = 18\) см — сторона треугольника; \(h = a : 3\) — высота, проведенная к ней. Найти: \(S\) — площадь треугольника. Решение: 1) Найдем высоту треугольника: \[h = 18 : 3 = 6 \text{ (см)}\] 2) Площадь треугольника вычисляется по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54 \text{ (см}^2\text{)}\] Ответ: 54 \(см^2\). Задача 2. Дано: \(a = 4\) см, \(b = 7\) см — стороны параллелограмма; \(\alpha = 150^\circ\) — угол между ними. Найти: \(S\) — площадь параллелограмма. Решение: 1) Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними: \[S = a \cdot b \cdot \sin \alpha\] 2) Используем формулу приведения: \(\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\). \[S = 4 \cdot 7 \cdot \sin 150^\circ = 28 \cdot \frac{1}{2} = 14 \text{ (см}^2\text{)}\] Ответ: 14 \(см^2\). Задача 3. Дано: \(ABCM\) — равнобедренная трапеция; \(AM = 20\) см — большее основание; \(BH\) — высота, \(H \in AM\), \(AH = 6\) см; \(\angle BAM = 45^\circ\). Найти: \(S\) — площадь трапеции. Решение: 1) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\) (\(\angle H = 90^\circ\)). Так как \(\angle A = 45^\circ\), то \(\angle ABH = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Следовательно, \(\triangle ABH\) — равнобедренный, \(BH = AH = 6\) см. 2) В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на отрезки, меньший из которых равен \(\frac{AM - BC}{2}\). Значит, \(AH = \frac{AM - BC}{2}\). \[6 = \frac{20 - BC}{2} \Rightarrow 12 = 20 - BC \Rightarrow BC = 8 \text{ (см)}\] 3) Площадь трапеции: \[S = \frac{AM + BC}{2} \cdot BH\] \[S = \frac{20 + 8}{2} \cdot 6 = 14 \cdot 6 = 84 \text{ (см}^2\text{)}\] Ответ: 84 \(см^2\). Задача 4. Дано: \(ABCD\) — ромб, \(S_{ABCD} = 48\) \(см^2\); \(K \in BC\), \(KC : BK = 3 : 1\). Найти: \(S_{ABK}\). Решение: 1) Пусть \(BK = x\), тогда \(KC = 3x\). Сторона ромба \(BC = BK + KC = x + 3x = 4x\). 2) Площадь ромба можно выразить через сторону и высоту \(h\), проведенную к этой стороне: \(S_{ABCD} = BC \cdot h = 4x \cdot h = 48\). Отсюда \(x \cdot h = 12\). 3) Треугольник \(ABK\) имеет основание \(BK = x\) и ту же высоту \(h\), что и ромб (так как вершина \(A\) лежит на прямой, параллельной \(BC\)). \[S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot h = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h\] 4) Подставим значение \(x \cdot h\): \[S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \text{ (см}^2\text{)}\] Ответ: 6 \(см^2\). Задача 5. Дано: \(\triangle ABC\), \(S_{ABC} = 126\) \(см^2\); \(AB = 14\) см, \(BC = 18\) см; \(AM = AB\), \(M\) лежит на продолжении \(BA\) за точку \(A\); \(KC = 0.5 \cdot BC\), \(K\) лежит на продолжении \(BC\) за точку \(C\). Найти: \(S_{MBK}\). Решение: 1) Найдем новые стороны треугольника \(MBK\): \(MB = MA + AB = 14 + 14 = 28\) см (т.е. \(MB = 2 \cdot AB\)); \(BK = BC + CK = 18 + 9 = 27\) см (т.е. \(BK = 1.5 \cdot BC\)). 2) Угол \(\angle B\) является общим для \(\triangle ABC\) и \(\triangle MBK\). 3) Площадь треугольника выражается как \(S = \frac{1}{2} a b \sin \beta\). \[\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot MB \cdot BK \cdot \sin B}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B} = \frac{MB}{AB} \cdot \frac{BK}{BC}\] 4) Подставим отношения сторон: \[\frac{S_{MBK}}{126} = \frac{28}{14} \cdot \frac{27}{18} = 2 \cdot 1.5 = 3\] \[S_{MBK} = 126 \cdot 3 = 378 \text{ (см}^2\text{)}\] Ответ: 378 \(см^2\).