Энергия в колебательном контуре: решение задачи при q=q_max sin(ωt)

Дано уравнение изменения заряда на конденсаторе: \[ q = q_{max} \sin \omega t \] Для решения задачи найдем выражения для каждого вида энергии в колебательном контуре. 1. Энергия электрического поля конденсатора определяется формулой: \[ W_{эл} = \frac{q^2}{2C} \] Подставим в неё уравнение для заряда: \[ W_{эл} = \frac{(q_{max} \sin \omega t)^2}{2C} = \frac{q_{max}^2 \sin^2 \omega t}{2C} \] 2. Энергия магнитного поля катушки определяется формулой: \[ W_{маг} = \frac{Li^2}{2} \] Сначала найдем силу тока \( i \), как производную заряда по времени: \[ i = q' = (q_{max} \sin \omega t)' = q_{max} \omega \cos \omega t \] Теперь подставим ток в формулу энергии: \[ W_{маг} = \frac{L (q_{max} \omega \cos \omega t)^2}{2} = \frac{L q_{max}^2 \omega^2 \cos^2 \omega t}{2} \] 3. Полная энергия колебательного контура равна сумме энергий электрического и магнитного полей: \[ W = W_{эл} + W_{маг} \] \[ W = \frac{q_{max}^2 \sin^2 \omega t}{2C} + \frac{L q_{max}^2 \omega^2 \cos^2 \omega t}{2} \] Вынесем общий множитель \( \frac{q_{max}^2}{2C} \) за скобки: \[ W = \frac{q_{max}^2}{2C} (\sin^2 \omega t + L C \omega^2 \cos^2 \omega t) \] Ответ (соответствие): 1. Энергия электрического поля: \[ \frac{q_{max}^2 \sin^2 \omega t}{2C} \] 2. Энергия магнитного поля: \[ \frac{L q_{max}^2 \omega^2 \cos^2 \omega t}{2} \] 3. Полная энергия колебательного контура: \[ \frac{q_{max}^2}{2C} (\sin^2 \omega t + L C \omega^2 \cos^2 \omega t) \]