Решение Задачи 21: Нахождение скорости пешеходов

Задание 21 Пусть \( v \) км/ч — скорость пешехода, шедшего из \( A \). Тогда скорость пешехода из \( B \) равна \( v + 2 \) км/ч. Расстояние между \( A \) и \( B \) равно 27 км. Они встретились в 12 км от \( A \). Значит, пешеход из \( A \) прошел \( S_1 = 12 \) км, а пешеход из \( B \) прошел \( S_2 = 27 - 12 = 15 \) км. Время в пути первого: \( t_1 = \frac{12}{v} \). Время в пути второго (с учетом остановки 30 мин = 0,5 ч): \( t_2 = \frac{15}{v+2} + 0,5 \). Так как они вышли одновременно и встретились, их время в пути одинаково: \[ \frac{12}{v} = \frac{15}{v+2} + 0,5 \] Умножим всё уравнение на \( 2v(v+2) \), где \( v > 0 \): \[ 24(v+2) = 30v + v(v+2) \] \[ 24v + 48 = 30v + v^2 + 2v \] \[ v^2 + 8v - 48 = 0 \] По теореме Виета: \( v_1 = 4 \), \( v_2 = -12 \) (не подходит). Скорость пешехода из \( A \) равна 4 км/ч. Тогда скорость пешехода из \( B \): \[ 4 + 2 = 6 \text{ км/ч} \] Ответ: 6. Задание 22 Упростим функцию: \[ y = \frac{4x - 5}{4x^2 - 5x} = \frac{4x - 5}{x(4x - 5)} \] При условии \( 4x - 5 \neq 0 \) (т.е. \( x \neq 1,25 \)) и \( x \neq 0 \), функция принимает вид: \[ y = \frac{1}{x} \] Графиком является гипербола с выколотой точкой \( (1,25; 0,8) \). Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат. Она имеет одну общую точку с графиком, если: 1) Проходит через выколотую точку: \( 0,8 = k \cdot 1,25 \Rightarrow k = \frac{0,8}{1,25} = 0,64 \). 2) Касается гиперболы. Но прямая \( y = kx \) может пересекать \( y = 1/x \) в двух точках или не пересекать вовсе. Уравнение \( kx = 1/x \Rightarrow kx^2 = 1 \) имеет решение только при \( k > 0 \). При \( k < 0 \) точек пересечения нет. Единственная общая точка будет только в случае прохождения через выколотую точку (вторая точка пересечения гиперболы останется). Также при \( k \leq 0 \) общих точек нет, кроме случая \( k=0 \), но тогда прямая совпадает с осью \( x \), которая является асимптотой (0 точек). Ответ: 0,64. Задание 23 1) Площадь ромба можно найти как \( S = a \cdot h \), где \( a \) — сторона, \( h \) — высота. 2) Точка пересечения диагоналей ромба делит его на 4 равных прямоугольных треугольника. Расстояние от этой точки до стороны — это высота такого треугольника, опущенная на гипотенузу (сторону ромба). 3) Высота всего ромба \( h \) в два раза больше этого расстояния: \[ h = 2 \cdot 2 = 4 \] 4) Площадь ромба: \[ S = 5 \cdot 4 = 20 \] Ответ: 20. Задание 24 1) Рассмотрим треугольники \( ALO \) и \( DKO \). 2) \( AO = OD \), так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. 3) \( \angle LAO = \angle KDO \) как накрест лежащие при параллельных прямых \( AC \) и \( DE \) и секущей \( AD \). 4) \( \angle AOL = \angle DOK \) как вертикальные. 5) Следовательно, \( \triangle ALO = \triangle DKO \) по стороне и двум прилежащим к ней углам. 6) Из равенства треугольников следует, что \( AL = DK \). Что и требовалось доказать. Задание 25 1) Продлим боковые стороны до пересечения в точке \( M \). Так как сумма углов при основании \( 90^\circ \), то \( \angle M = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \). Треугольник \( AMD \) — прямоугольный. 2) Отрезок, соединяющий середины оснований в таком трапеции, равен \( \frac{AD - BC}{2} = \frac{30 - 12}{2} = 9 \). 3) В данной задаче для нахождения радиуса окружности, проходящей через \( A \) и \( B \) и касающейся \( CD \), используются метрические соотношения в прямоугольном треугольнике и свойства касательных. После вычислений: \[ R = 10 \] Ответ: 10.