Решение задач по теме Тепловые Двигатели и КПД

Ниже представлены решения задач из раздела 8.14, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1. Дано: \(\eta = 40\% = 0,4\) \(Q_1 = 1200\) Дж Найти: \(A\) — ? Решение: Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины определяется формулой: \[\eta = \frac{A}{Q_1}\] Отсюда полезная работа: \[A = \eta \cdot Q_1\] \[A = 0,4 \cdot 1200 = 480 \text{ Дж}\] Ответ: 480 Дж. Задача 2. Дано: \(\eta = 40\% = 0,4\) \(Q_2 = 600\) Дж Найти: \(Q_1\) — ? Решение: КПД через количество теплоты выражается так: \[\eta = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}\] Выразим \(Q_1\): \[\frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \eta\] \[Q_1 = \frac{Q_2}{1 - \eta}\] \[Q_1 = \frac{600}{1 - 0,4} = \frac{600}{0,6} = 1000 \text{ Дж}\] Ответ: 1000 Дж. Задача 3. Дано: \(\eta = 40\% = 0,4\) \(Q_2 = 300\) Дж Найти: \(A\) — ? Решение: Используем формулу КПД: \(\eta = \frac{A}{Q_1}\). Также известно, что \(A = Q_1 - Q_2\), значит \(Q_1 = A + Q_2\). Подставим: \[\eta = \frac{A}{A + Q_2}\] \[\eta(A + Q_2) = A\] \[\eta A + \eta Q_2 = A\] \[\eta Q_2 = A(1 - \eta)\] \[A = \frac{\eta Q_2}{1 - \eta}\] \[A = \frac{0,4 \cdot 300}{1 - 0,4} = \frac{120}{0,6} = 200 \text{ Дж}\] Ответ: 200 Дж. Задача 4. Дано: \(t_1 = 127 ^\circ\text{C}\) \(t_2 = 27 ^\circ\text{C}\) Найти: \(\eta_{max}\) — ? Решение: Переведем температуры в Кельвины: \(T_1 = 127 + 273 = 400 \text{ К}\) \(T_2 = 27 + 273 = 300 \text{ К}\) Максимальный КПД (цикл Карно): \[\eta_{max} = \frac{T_1 - T_2}{T_1}\] \[\eta_{max} = \frac{400 - 300}{400} = \frac{100}{400} = 0,25 \text{ или } 25\%\] Ответ: 25%. Задача 5. Дано: \(t_1 = 527 ^\circ\text{C} \Rightarrow T_1 = 800 \text{ К}\) \(t_2 = 127 ^\circ\text{C} \Rightarrow T_2 = 400 \text{ К}\) \(A = 700\) Дж Найти: \(Q_1\) — ? Решение: Для идеальной тепловой машины: \[\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = \frac{800 - 400}{800} = 0,5\] Также \(\eta = \frac{A}{Q_1}\), следовательно: \[Q_1 = \frac{A}{\eta} = \frac{700}{0,5} = 1400 \text{ Дж}\] Ответ: 1400 Дж. Задача 6. Дано: \(T_1 = 900 \text{ К}\) \(t_2 = 27 ^\circ\text{C} \Rightarrow T_2 = 300 \text{ К}\) \(A = 350\) Дж Найти: \(Q_2\) — ? Решение: КПД идеальной машины: \[\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = \frac{900 - 300}{900} = \frac{600}{900} = \frac{2}{3}\] Так как \(\eta = \frac{A}{Q_1}\), то \(Q_1 = \frac{A}{\eta} = \frac{350}{2/3} = 525 \text{ Дж}\). Количество теплоты, отданное холодильнику: \[Q_2 = Q_1 - A = 525 - 350 = 175 \text{ Дж}\] Ответ: 175 Дж. Задача 7. Дано: \(\eta = 25\% = 0,25\) \(P_2 = 3 \text{ кВт} = 3000 \text{ Вт}\) \(t = 10 \text{ с}\) Найти: \(Q_1\) — ? Решение: Количество теплоты, отданное холодильнику за время \(t\): \[Q_2 = P_2 \cdot t = 3000 \cdot 10 = 30000 \text{ Дж}\] Из формулы КПД \(\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}\) выразим \(Q_1\): \[Q_1 = \frac{Q_2}{1 - \eta} = \frac{30000}{1 - 0,25} = \frac{30000}{0,75} = 40000 \text{ Дж} = 40 \text{ кДж}\] Ответ: 40 кДж. Задача 8. Дано: \(\eta = 20\% = 0,2\) Найти: \(\frac{T_1}{T_2}\) — ? Решение: Формула КПД цикла Карно: \[\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = 1 - \frac{T_2}{T_1}\] Отсюда: \[\frac{T_2}{T_1} = 1 - \eta = 1 - 0,2 = 0,8\] Нам нужно отношение \(\frac{T_1}{T_2}\): \[\frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{0,8} = 1,25\] Ответ: в 1,25 раза. Задача 9. Дано: \(\eta_1 = 18\% = 0,18\) \(Q_{2_{new}} = \frac{Q_2}{2}\) Найти: \(\eta_2\) — ? Решение: КПД равен \(\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}\). Отсюда \(\frac{Q_2}{Q_1} = 1 - \eta_1 = 1 - 0,18 = 0,82\). Если потери \(Q_2\) уменьшить в 2 раза при том же \(Q_1\): \[\eta_2 = 1 - \frac{Q_{2_{new}}}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{2 Q_1} = 1 - \frac{0,82}{2} = 1 - 0,41 = 0,59 \text{ или } 59\%\] Ответ: 59%.