Решение задачи линейного программирования графическим методом

Решение задачи линейного программирования графическим методом. Условие задачи: Найти минимум и максимум целевой функции: \[ L(X) = 2x_1 + 3x_2 + 1 \to \min, \max \] при ограничениях: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 \ge 1 \\ x_1 - 2x_2 \le 2 \\ 2x_1 - x_2 \ge -2 \\ 0 \le x_1 \le 4 \\ 0 \le x_2 \le 4 \end{cases} \] 1. Построение области допустимых решений (ОДР). Построим прямые, соответствующие ограничениям-неравенствам: - Прямая \( L_1: x_1 + x_2 = 1 \). Проходит через точки (1, 0) и (0, 1). Область выше прямой. - Прямая \( L_2: x_1 - 2x_2 = 2 \). Проходит через точки (2, 0) и (4, 1). Область выше прямой. - Прямая \( L_3: 2x_1 - x_2 = -2 \). Проходит через точки (0, 2) и (1, 4). Область ниже прямой. - Ограничения \( 0 \le x_1 \le 4 \) и \( 0 \le x_2 \le 4 \) задают квадрат в первой четверти. Пересечение этих областей образует многоугольник с вершинами: A(0, 1) — пересечение \( x_1=0 \) и \( x_1+x_2=1 \). B(0, 2) — пересечение \( x_1=0 \) и \( 2x_1-x_2=-2 \). C(3, 4) — пересечение \( x_2=4 \) и \( 2x_1-x_2=-2 \). D(4, 4) — угол квадрата. E(4, 1) — пересечение \( x_1=4 \) и \( x_1-2x_2=2 \). F(1, 0) — пересечение \( x_2=0 \) и \( x_1+x_2=1 \). G(2, 0) — пересечение \( x_2=0 \) и \( x_1-2x_2=2 \). 2. Нахождение экстремумов. Вычислим значения целевой функции \( L(x_1, x_2) = 2x_1 + 3x_2 + 1 \) в вершинах многоугольника: - В точке A(0, 1): \( L(0, 1) = 2(0) + 3(1) + 1 = 4 \) - В точке B(0, 2): \( L(0, 2) = 2(0) + 3(2) + 1 = 7 \) - В точке C(3, 4): \( L(3, 4) = 2(3) + 3(4) + 1 = 6 + 12 + 1 = 19 \) - В точке D(4, 4): \( L(4, 4) = 2(4) + 3(4) + 1 = 8 + 12 + 1 = 21 \) - В точке E(4, 1): \( L(4, 1) = 2(4) + 3(1) + 1 = 8 + 3 + 1 = 12 \) - В точке G(2, 0): \( L(2, 0) = 2(2) + 3(0) + 1 = 5 \) - В точке F(1, 0): \( L(1, 0) = 2(1) + 3(0) + 1 = 3 \) 3. Ответ: Минимальное значение функции достигается в точке F(1, 0): \[ L_{\min} = 3 \] Максимальное значение функции достигается в точке D(4, 4): \[ L_{\max} = 21 \]