Домашнее задание
1. На рис. 66 \(BC = CD\), \(\angle 1 = \angle 2\), \(AB = 7\) см. Найдите \(AD\).
Решение:
Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\).
По условию задачи:
- \(BC = CD\) (сторона)
- \(\angle 1 = \angle 2\) (угол)
- Сторона \(AC\) является общей для обоих треугольников.
Однако, для доказательства равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, угол должен быть заключен между этими сторонами. В данном случае, угол \(\angle 1\) находится между сторонами \(BC\) и \(AC\), а угол \(\angle 2\) находится между сторонами \(CD\) и \(AC\).
По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
В нашем случае, у нас есть:
- \(BC = CD\)
- \(AC\) - общая сторона
- \(\angle BCA = \angle DCA\) (это углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\))
Следовательно, треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\) равны по первому признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов.
Значит, сторона \(AB\) равна стороне \(AD\).
По условию задачи, \(AB = 7\) см.
Следовательно, \(AD = AB = 7\) см.
Ответ: \(AD = 7\) см.
2. На рис. 67 \(AB = BC\), \(\angle MAN = 27^\circ\). Найдите \(\angle DCB\).
Решение:
Рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\).
По условию задачи, \(AB = BC\). Это означает, что \(\triangle ABC\) является равнобедренным треугольником.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием в данном случае является сторона \(AC\).
Значит, \(\angle BAC = \angle BCA\).
Угол \(\angle MAN\) и угол \(\angle BAC\) являются вертикальными углами.
Вертикальные углы равны.
По условию задачи, \(\angle MAN = 27^\circ\).
Следовательно, \(\angle BAC = \angle MAN = 27^\circ\).
Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный и \(\angle BAC = 27^\circ\), то \(\angle BCA = \angle BAC = 27^\circ\).
Угол \(\angle DCB\) является смежным с углом \(\angle BCA\).
Сумма смежных углов равна \(180^\circ\).
Значит, \(\angle DCB + \angle BCA = 180^\circ\).
Подставим известное значение \(\angle BCA\):
\(\angle DCB + 27^\circ = 180^\circ\)
\(\angle DCB = 180^\circ - 27^\circ\)
\(\angle DCB = 153^\circ\)
Ответ: \(\angle DCB = 153^\circ\).