Решение задачи по алгебре логики

Решение задачи по алгебре логики. 1. Введем обозначения для простых высказываний: \(A\) — первый студент изучал математическую логику; \(B\) — второй студент изучал математическую логику; \(C\) — третий студент изучал математическую логику. 2. Составим логическую формулу на основе условия задачи. Фраза «Если изучал первый, то изучал и третий» записывается как импликация: \(A \to C\). Фраза «Если изучал второй, то изучал и третий» записывается как: \(B \to C\). Отрицание этой фразы («неверно, что...»): \(\neg(B \to C)\). Соединительный союз «но» в логике соответствует конъюнкции (\(\wedge\)). Итоговая формула: \[F = (A \to C) \wedge \neg(B \to C)\] 3. Преобразуем формулу для построения ДНФ (дизъюнктивной нормальной формы). Используем равносильность импликации: \(X \to Y \equiv \neg X \vee Y\). \[F = (\neg A \vee C) \wedge \neg(\neg B \vee C)\] Применим закон де Моргана к отрицанию в скобках: \(\neg(\neg B \vee C) \equiv B \wedge \neg C\). \[F = (\neg A \vee C) \wedge (B \wedge \neg C)\] Раскроем скобки по закону дистрибутивности: \[F = (\neg A \wedge B \wedge \neg C) \vee (C \wedge B \wedge \neg C)\] Так как \(C \wedge \neg C = 0\) (закон противоречия), то вторая скобка обращается в ложь: \[F = (\neg A \wedge B \wedge \neg C) \vee 0\] \[F = \neg A \wedge B \wedge \neg C\] Полученное выражение и есть искомая ДНФ (в данном случае состоящая из одного конъюнкта). 4. Определим, кто изучал математическую логику. Формула \(F\) истинна только тогда, когда истинен конъюнкт \(\neg A \wedge B \wedge \neg C\). Это возможно при следующих значениях переменных: \(A = 0\) (ложно) \(B = 1\) (истинно) \(C = 0\) (ложно) Ответ: Математическую логику изучал только второй студент. ДНФ формулы: \(\neg A \wedge B \wedge \neg C\).