Решение задачи №4: Эффект Доплера

Задача №4 Дано: \( T_0 = 5 \) с — период включения сирены (интервал времени между сигналами в системе отсчета машины); \( T = 1,6 \) с — интервал времени между сигналами, который слышит неподвижный наблюдатель; \( v_{зв} = 340 \) м/с — скорость звука в воздухе. Найти: \( v \) — скорость машины. Решение: Данная задача основана на эффекте Доплера. Когда источник звука приближается к неподвижному наблюдателю, расстояние, которое должен пройти каждый последующий звуковой сигнал, сокращается. Пусть в момент времени \( t_1 = 0 \) машина испускает первый сигнал, находясь на расстоянии \( L \) от наблюдателя. Этот сигнал дойдет до наблюдателя через время: \[ t_{набл1} = \frac{L}{v_{зв}} \] Второй сигнал машина испускает через время \( T_0 \). За это время она проезжает расстояние \( v \cdot T_0 \) и оказывается на расстоянии \( L - v \cdot T_0 \) от наблюдателя. Второй сигнал дойдет до наблюдателя в момент времени: \[ t_{набл2} = T_0 + \frac{L - v \cdot T_0}{v_{зв}} \] Интервал времени \( T \), который фиксирует наблюдатель, равен разности этих моментов: \[ T = t_{набл2} - t_{набл1} \] \[ T = T_0 + \frac{L - v \cdot T_0}{v_{зв}} - \frac{L}{v_{зв}} \] \[ T = T_0 - \frac{v \cdot T_0}{v_{зв}} \] \[ T = T_0 \cdot (1 - \frac{v}{v_{зв}}) \] Из полученной формулы выразим скорость машины \( v \): \[ \frac{T}{T_0} = 1 - \frac{v}{v_{зв}} \] \[ \frac{v}{v_{зв}} = 1 - \frac{T}{T_0} \] \[ v = v_{зв} \cdot (1 - \frac{T}{T_0}) \] Подставим числовые значения: \[ v = 340 \cdot (1 - \frac{1,6}{5}) \] \[ v = 340 \cdot (1 - 0,32) \] \[ v = 340 \cdot 0,68 \] \[ v = 231,2 \text{ м/с} \] Переведем скорость в км/ч для наглядности: \[ v = 231,2 \cdot 3,6 = 832,32 \text{ км/ч} \] Ответ: машина мчится со скоростью \( 231,2 \) м/с.