Решение задачи по физике (динамика)

Решение задачи по физике (динамика). Запишем второй закон Ньютона для материальной точки. На точку действуют две силы: сила отталкивания \(F = 3mx\), направленная вдоль движения, и сила сопротивления \(R = 2mv\), направленная против движения. 1. Составим дифференциальное уравнение движения: \[ma = F - R\] Подставим выражения для сил, учитывая, что ускорение \(a = \ddot{x}\), а скорость \(v = \dot{x}\): \[m\ddot{x} = 3mx - 2m\dot{x}\] Разделим обе части уравнения на массу \(m\) (\(m \neq 0\)): \[\ddot{x} + 2\dot{x} - 3x = 0\] 2. Сформулируем начальные условия из текста задачи: При \(t = 0\): \[x(0) = 1\] \[v(0) = \dot{x}(0) = 0\] 3. Решим полученное линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение: \[k^2 + 2k - 3 = 0\] Найдем корни через дискриминант: \[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\] \[k_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1, \quad k_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3\] Общее решение уравнения имеет вид: \[x(t) = C_1 e^t + C_2 e^{-3t}\] 4. Найдем производную (скорость), чтобы использовать второе начальное условие: \[\dot{x}(t) = C_1 e^t - 3C_2 e^{-3t}\] 5. Подставим начальные условия для нахождения констант \(C_1\) и \(C_2\): Для \(x(0) = 1\): \[C_1 + C_2 = 1\] Для \(\dot{x}(0) = 0\): \[C_1 - 3C_2 = 0 \implies C_1 = 3C_2\] Подставим \(C_1 = 3C_2\) в первое уравнение: \[3C_2 + C_2 = 1 \implies 4C_2 = 1 \implies C_2 = \frac{1}{4}\] Тогда: \[C_1 = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\] 6. Запишем итоговый закон движения: \[x(t) = \frac{3}{4} e^t + \frac{1}{4} e^{-3t}\] Ответ: Закон движения точки имеет вид \(x(t) = \frac{3}{4} e^t + \frac{1}{4} e^{-3t}\).