Решение задачи №20: Отношение AK:KC

Задача №20 Дано: Треугольник \(ABC\). \(AM\) — медиана (\(M\) лежит на \(BC\), \(BM = MC\)). Прямая \(BK\) пересекает медиану \(AM\) в точке \(O\) так, что \(AO = OM\). Точка \(K\) лежит на стороне \(AC\). Найти: Отношение \(AK : KC\). Решение: 1. Проведем через точку \(M\) прямую \(MD\), параллельную \(BK\) (\(D\) лежит на \(AC\)). 2. Рассмотрим угол \(MAC\). По теореме Фалеса (или по свойству подобия треугольников), так как \(BK \parallel MD\) и \(AO = OM\), то точка \(K\) делит отрезок \(AD\) пополам: \[ AK = KD \] 3. Рассмотрим угол \(BCA\). Так как \(MD \parallel BK\) и \(M\) — середина \(BC\) (\(BM = MC\)), то по теореме Фалеса точка \(D\) является серединой отрезка \(KC\): \[ KD = DC \] 4. Из пунктов 2 и 3 следует, что отрезки \(AK\), \(KD\) и \(DC\) равны между собой: \[ AK = KD = DC \] 5. Тогда отрезок \(KC\) состоит из двух таких частей: \[ KC = KD + DC = 2 \cdot AK \] 6. Найдем искомое отношение: \[ \frac{AK}{KC} = \frac{AK}{2 \cdot AK} = \frac{1}{2} \] Ответ: Прямая делит сторону в отношении \(1 : 2\), считая от вершины \(A\).