Решение задачи №12: Равнобедренная трапеция

Задача №12 Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция (\(BC \parallel AD\), \(AB = CD\)). \(CH\) — высота (\(H\) лежит на \(AD\)). \(BH \cap AC = O\). \(AO = 5\), \(OC = 3\) (или наоборот). Найти: Отношение оснований \(BC : AD\). Решение: 1. Пусть основания трапеции равны \(BC = a\) и \(AD = b\). В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой — полусумме оснований. Отрезок \(AH\) равен полусумме оснований: \[ AH = \frac{a + b}{2} \] 2. Рассмотрим треугольники \(BOC\) и \(HOA\). Так как \(BC \parallel AD\), то \(\angle BCO = \angle OAH\) и \(\angle CBO = \angle OHA\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущих. Следовательно, \(\triangle BOC \sim \triangle HOA\) по двум углам. 3. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: \[ \frac{BC}{AH} = \frac{OC}{AO} \] 4. Подставим известные значения. Рассмотрим случай, когда \(AO = 5\) и \(OC = 3\): \[ \frac{a}{\frac{a + b}{2}} = \frac{3}{5} \] \[ \frac{2a}{a + b} = \frac{3}{5} \] 5. Решим полученное уравнение относительно \(a\) и \(b\): \[ 10a = 3(a + b) \] \[ 10a = 3a + 3b \] \[ 7a = 3b \] \[ \frac{a}{b} = \frac{3}{7} \] 6. Если рассмотреть второй случай, когда \(AO = 3\) и \(OC = 5\): \[ \frac{2a}{a + b} = \frac{5}{3} \] \[ 6a = 5a + 5b \] \[ a = 5b \] В этом случае \(a > b\), что невозможно, так как \(BC\) — меньшее основание (исходя из построения высоты \(CH\) к \(AD\)). Ответ: Отношение оснований равно \(3 : 7\).