Решение задачи: найти катеты прямоугольного треугольника

Дано: Прямоугольный треугольник. Площадь \( S = 30 \) \( см^2 \). Гипотенуза \( c = 13 \) см. Найти: катеты \( a \) и \( b \). Решение: 1. Воспользуемся формулой площади прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} a \cdot b \] Отсюда: \[ 30 = \frac{1}{2} a \cdot b \implies a \cdot b = 60 \] 2. Воспользуемся теоремой Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ a^2 + b^2 = 13^2 \implies a^2 + b^2 = 169 \] 3. Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} a \cdot b = 60 \\ a^2 + b^2 = 169 \end{cases} \] 4. Для решения удобно использовать формулу квадрата суммы \( (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \): \[ (a+b)^2 = 169 + 2 \cdot 60 = 169 + 120 = 289 \] \[ a + b = \sqrt{289} = 17 \] 5. Теперь имеем простую систему: \[ \begin{cases} a + b = 17 \\ a \cdot b = 60 \end{cases} \] По теореме, обратной теореме Виета, \( a \) и \( b \) являются корнями квадратного уравнения: \[ x^2 - 17x + 60 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49 \] \[ x = \frac{17 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{17 \pm 7}{2} \] \[ x_1 = \frac{24}{2} = 12; \quad x_2 = \frac{10}{2} = 5 \] Таким образом, катеты равны 5 см и 12 см. Ответ: Меньший катет — 5. Больший катет — 12.