Решение задач на арифметическую и геометрическую прогрессии

Вариант 2 Задача 1. Дано: геометрическая прогрессия \(b_1 = 3\), \(b_2 = 6\). Найти \(b_9\). Решение: 1) Найдем знаменатель прогрессии \(q\): \[q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{3} = 2\] 2) Используем формулу \(n\)-го члена \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\): \[b_9 = 3 \cdot 2^{9-1} = 3 \cdot 2^8 = 3 \cdot 256 = 768\] Ответ: 768. Задача 2. Дано: арифметическая прогрессия \(a_1 = 30\), \(a_2 = 28\). Найти \(S_{14}\). Решение: 1) Найдем разность \(d\): \[d = a_2 - a_1 = 28 - 30 = -2\] 2) Найдем 14-й член прогрессии: \[a_{14} = a_1 + d(14 - 1) = 30 + (-2) \cdot 13 = 30 - 26 = 4\] 3) Найдем сумму: \[S_{14} = \frac{a_1 + a_{14}}{2} \cdot 14 = \frac{30 + 4}{2} \cdot 14 = 17 \cdot 14 = 238\] Ответ: 238. Задача 3. Дано: \(a_n = 7n + 4\). Является ли число 242 членом прогрессии? Решение: Приравняем формулу к числу 242 и проверим, будет ли \(n\) целым положительным числом: \[7n + 4 = 242\] \[7n = 238\] \[n = \frac{238}{7} = 34\] Так как \(n = 34\) — натуральное число, то 242 является 34-м членом прогрессии. Ответ: Да, является. Задача 4. Дано: \(S_{16} = 880\), \(a_1 = 10\), \(n = 16\). Найти \(a_8\). Решение: 1) Найдем разность \(d\) из формулы суммы \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\): \[880 = \frac{2 \cdot 10 + d(16 - 1)}{2} \cdot 16\] \[880 = (20 + 15d) \cdot 8\] \[110 = 20 + 15d\] \[15d = 90 \Rightarrow d = 6\] 2) Найдем количество открыток за восьмой день: \[a_8 = a_1 + 7d = 10 + 7 \cdot 6 = 10 + 42 = 52\] Ответ: 52. Задача 5. Дано: \(8x^2 + 3\); \(3x + 2\); \(9 - 10x^2\) — члены арифметической прогрессии. Решение: По свойству арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому соседних: \[3x + 2 = \frac{(8x^2 + 3) + (9 - 10x^2)}{2}\] \[2(3x + 2) = -2x^2 + 12\] \[6x + 4 = -2x^2 + 12\] \[2x^2 + 6x - 8 = 0\] \[x^2 + 3x - 4 = 0\] По теореме Виета: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -4\). Ответ: 1; -4. Задача 6. Найти сумму чисел, кратных 6, в интервале \((100; 200)\). Решение: 1) Найдем первое число: \(100 / 6 \approx 16,6\). Значит, \(a_1 = 6 \cdot 17 = 102\). 2) Найдем последнее число: \(200 / 6 \approx 33,3\). Значит, \(a_n = 6 \cdot 33 = 198\). 3) Найдем количество членов \(n\): \[198 = 102 + 6(n - 1)\] \[96 = 6(n - 1) \Rightarrow 16 = n - 1 \Rightarrow n = 17\] 4) Найдем сумму: \[S_{17} = \frac{102 + 198}{2} \cdot 17 = \frac{300}{2} \cdot 17 = 150 \cdot 17 = 2550\] Ответ: 2550.