Решение теста: Векторы в пространстве (Вариант 1, Уровень А)

Ниже представлены решения заданий теста по теме «Векторы в пространстве» (Вариант №1, Уровень А). Задание 1. Какое утверждение неверно? 1) Любые два противоположно направленных вектора коллинеарны. 2) Любые два коллинеарных вектора сонаправлены. 3) Любые два равных вектора коллинеарны. Ответ: 2. Пояснение: Коллинеарные векторы могут быть как сонаправлены, так и противоположно направлены. Задание 2. Даны точки \(A, B, C, D, K\). Известно, что \(\vec{BC} = k \cdot \vec{DK}\), \(\vec{AC} = z \cdot \vec{CD}\), \(\vec{AK} = x \cdot \vec{AB} + y \cdot \vec{AC}\). Тогда неверно, что... 1) все точки лежат в одной плоскости; 2) прямые \(BC\) и \(DK\) параллельны; 3) точки \(A, C\) и \(D\) не лежат на одной прямой. Ответ: 3. Пояснение: Из условия \(\vec{AC} = z \cdot \vec{CD}\) следует, что векторы \(\vec{AC}\) и \(\vec{CD}\) коллинеарны и имеют общую точку \(C\), значит точки \(A, C\) и \(D\) лежат на одной прямой. Задание 3. Какое утверждение неверно? 1) Длины противоположных векторов не могут быть неравны. 2) Если длины векторов неравны, то и векторы неравны. 3) Если длины векторов равны, то и векторы равны. Ответ: 3. Пояснение: Для равенства векторов необходимо не только равенство их длин, но и совпадение их направлений. Задание 4. \(\vec{AB} = k \cdot \vec{CD}\), причём точки \(A, B\) и \(C\) не лежат на одной прямой. Прямые \(AC\) и \(BD\) не могут быть... 1) параллельными; 2) пересекающимися; 3) скрещивающимися. Ответ: 3. Пояснение: Так как \(\vec{AB} = k \cdot \vec{CD}\), то прямые \(AB\) и \(CD\) параллельны (или совпадают). Четыре точки, образующие две параллельные прямые, всегда лежат в одной плоскости. Следовательно, прямые \(AC\) и \(BD\) лежат в одной плоскости и не могут быть скрещивающимися. Задание 5. \(ABCA_1B_1C_1\) — правильная призма. \(A_1F = FB_1, B_1K = KC_1\). Какое утверждение неверное? 1) \(\vec{KF} = -\frac{1}{2} \vec{AC}\); 2) \(|\vec{AF}| = |\vec{BK}|\); 3) \(\vec{AF} = \vec{BK}\). Ответ: 3. Пояснение: В правильной призме треугольники в основаниях равны. Отрезки \(AF\) и \(BK\) будут равны по длине (как соответствующие элементы), но векторы \(\vec{AF}\) и \(\vec{BK}\) не параллельны, следовательно, они не могут быть равны. Задание 6. \(ABCA_1B_1C_1\) — правильная призма. \(CE = EC_1, BF = FB_1, FM = MB_1, AD : DC = 3 : 1\). Какое утверждение верное? 1) \(\vec{DM} \uparrow\uparrow \vec{EB_1}\); 2) \(\vec{FC} \uparrow\downarrow \vec{DM}\); 3) \(\vec{EB_1} \uparrow\downarrow \vec{FC}\). Ответ: 3. Пояснение: При анализе расположения точек в правильной призме и заданных пропорций, векторы \(\vec{EB_1}\) и \(\vec{FC}\) лежат в параллельных плоскостях (или одной плоскости сечения) и направлены в противоположные стороны относительно вертикальной оси призмы. Утверждение 3 является верным для данной конфигурации.