Решение задачи с векторами в параллелепипеде

Ниже представлено решение задач из раздела Уровень В, оформленное для записи в тетрадь. Задача 1 Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — параллелепипед. Найти упрощенное выражение для суммы векторов: \[\vec{AC} + \vec{BB_1} + \vec{BA} + \vec{D_1B} + \vec{B_1D_1} + \vec{DC}\] Решение: Для упрощения сгруппируем векторы и воспользуемся правилом сложения векторов (правилом цепочки): 1) Заметим, что \(\vec{BB_1} + \vec{B_1D_1} = \vec{BD_1}\). 2) Тогда выражение принимает вид: \[\vec{AC} + \vec{BD_1} + \vec{BA} + \vec{D_1B} + \vec{DC}\] 3) Сложим \(\vec{BD_1} + \vec{D_1B} = \vec{BB} = \vec{0}\) (нулевой вектор). 4) Остается: \(\vec{AC} + \vec{BA} + \vec{DC}\). 5) Переставим слагаемые: \(\vec{BA} + \vec{AC} + \vec{DC}\). 6) По правилу цепочки \(\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}\). 7) Получаем: \(\vec{BC} + \vec{DC}\). 8) Так как в параллелепипеде \(ABCD\) является параллелограммом, то \(\vec{DC} = \vec{AB}\). 9) Тогда \(\vec{BC} + \vec{AB} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Ответ: \(\vec{AC}\). Задача 3 Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямой параллелепипед. Основание \(ABCD\) — квадрат, \(AB = 2\) см, \(AA_1 = 2\sqrt{2}\) см. Найти: \(|\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}|\). Решение: 1) По правилу параллелепипеда сумма трех векторов, исходящих из одной вершины, равна вектору диагонали этого параллелепипеда: \[\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{AC_1}\] 2) Модуль этой суммы равен длине диагонали \(AC_1\). В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений: \[|AC_1|^2 = AB^2 + AD^2 + AA_1^2\] 3) Так как в основании квадрат, то \(AD = AB = 2\) см. Подставим значения: \[|AC_1|^2 = 2^2 + 2^2 + (2\sqrt{2})^2\] \[|AC_1|^2 = 4 + 4 + 8 = 16\] 4) Находим длину диагонали: \[|AC_1| = \sqrt{16} = 4 \text{ см}\] Ответ: 4 см.