Решение задач №4, №5, №6, №7 из тетради

Ниже представлено решение задач №4, №5, №6 и №7 из вашей тетради. Задача 4 Найти \( x \) и \( y \) из соотношения: \[ x^2 - 2025x = y^2 - 2025y \] Решение: Перенесем все слагаемые в левую часть: \[ x^2 - y^2 - 2025x + 2025y = 0 \] Разложим на множители, используя формулу разности квадратов и вынесение общего множителя: \[ (x - y)(x + y) - 2025(x - y) = 0 \] Вынесем общий множитель \( (x - y) \): \[ (x - y)(x + y - 2025) = 0 \] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) \( x - y = 0 \implies x = y \) 2) \( x + y - 2025 = 0 \implies x + y = 2025 \) Ответ: \( x = y \) или \( x + y = 2025 \). Задача 5 В автобусе 33 места и 33 пассажира с билетами. Первый человек сел на произвольное место (не обязательно свое). Последующие садятся на свои места, если они свободны, иначе — на любое свободное. С какой вероятностью последний пассажир займет свое место? Решение: Это классическая задача о "сумасшедшем пассажире". Когда очередной пассажир обнаруживает, что его место занято, он выбирает новое место наугад. В процессе выбора он либо займет место первого пассажира, либо место последнего, либо чье-то еще. Если он занимает место первого — цикл "пересадок" замыкается, и все оставшиеся (включая последнего) сядут на свои места. Если он занимает место последнего — последний точно не сядет на свое место. Так как места первого и последнего равноправны в процессе случайного выбора, вероятность того, что место первого освободится раньше, чем будет занято место последнего, равна \( 1/2 \). Ответ: 1/2 (или 0,5). Задача 6 Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} (x^2 + xy + y^2) \cdot \sqrt{x^2 + y^2} = 185 \\ (x^2 - xy + y^2) \cdot \sqrt{x^2 + y^2} = 65 \end{cases} \] Решение: Пусть \( A = (x^2 + y^2) \) и \( B = xy \). Тогда система примет вид: \[ \begin{cases} (A + B) \sqrt{A} = 185 \\ (A - B) \sqrt{A} = 65 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 2A\sqrt{A} = 250 \implies A\sqrt{A} = 125 \implies A^{3/2} = 5^3 \implies \sqrt{A} = 5 \implies A = 25 \] Вычтем второе из первого: \[ 2B\sqrt{A} = 120 \implies 2B \cdot 5 = 120 \implies 10B = 120 \implies B = 12 \] Вернемся к \( x \) и \( y \): \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{cases} \] Это стандартная система. Заметим, что \( (x+y)^2 = 25 + 24 = 49 \) и \( (x-y)^2 = 25 - 24 = 1 \). Возможные пары \( (x, y) \): \( (3, 4), (4, 3), (-3, -4), (-4, -3) \). Ответ: (3; 4), (4; 3), (-3; -4), (-4; -3). Задача 7 Из А в В выехали Granta, Kalina и Vesta. Vesta доехала до В, повернула назад и встретила Kalina в 18 км от В, а Granta — в 25 км от В. Kalina доехала до В, повернула назад и встретила Granta в 8 км от В. Найти расстояние АВ. Решение: Пусть \( S \) — расстояние АВ. Скорости машин \( v_g, v_k, v_v \). 1. Встреча Vesta и Kalina: Vesta проехала \( S+18 \), Kalina \( S-18 \). \[ \frac{S+18}{v_v} = \frac{S-18}{v_k} \implies \frac{v_v}{v_k} = \frac{S+18}{S-18} \] 2. Встреча Vesta и Granta: Vesta проехала \( S+25 \), Granta \( S-25 \). \[ \frac{v_v}{v_g} = \frac{S+25}{S-25} \] 3. Встреча Kalina и Granta: Kalina проехала \( S+8 \), Granta \( S-8 \). \[ \frac{v_k}{v_g} = \frac{S+8}{S-8} \] Заметим, что \( \frac{v_v}{v_g} = \frac{v_v}{v_k} \cdot \frac{v_k}{v_g} \). Подставим отношения: \[ \frac{S+25}{S-25} = \frac{S+18}{S-18} \cdot \frac{S+8}{S-8} \] \[ (S+25)(S-18)(S-8) = (S-25)(S+18)(S+8) \] Раскроем скобки (заметим, что \( (S-18)(S-8) = S^2 - 26S + 144 \) и \( (S+18)(S+8) = S^2 + 26S + 144 \)): \[ (S+25)(S^2 - 26S + 144) = (S-25)(S^2 + 26S + 144) \] \[ S^3 - 26S^2 + 144S + 25S^2 - 650S + 3600 = S^3 + 26S^2 + 144S - 25S^2 - 650S - 3600 \] \[ -S^2 + 3600 = S^2 - 3600 \] \[ 2S^2 = 7200 \implies S^2 = 3600 \implies S = 60 \] Ответ: 60 км.