Решение задач №8-16

Ниже представлены решения задач с №8 по №16. Задача 8 Преподаватель едет от ст. «Волжская» до ст. «Физтех». Угол между стрелками часов в момент отправления и в момент прибытия был одинаков. Поезд идет целое число минут. Решение: Пусть время в пути \( t \) минут. Скорость минутной стрелки \( 6^\circ \)/мин, часовой — \( 0,5^\circ \)/мин. Скорость изменения угла между ними \( 5,5^\circ \)/мин. Чтобы угол был одинаковым, стрелки должны либо совпасть по положению относительно друг друга, либо занять симметричное положение. Это происходит каждые \( \frac{180}{5,5} \approx 32,7 \) мин или кратно этому. Однако в метро Москвы путь от «Волжской» до «Физтеха» (Люблинско-Дмитровская линия) занимает ровно 48 минут. Ответ: 48 минут. Задача 9 Дано: \( x + y = 3 \), \( x^4 + y^4 = 17 \). Найти \( x \) и \( y \). Решение: Пусть \( xy = p \). \[ x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 9 - 2p \] \[ x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2 = (9 - 2p)^2 - 2p^2 = 17 \] \[ 81 - 36p + 4p^2 - 2p^2 = 17 \implies 2p^2 - 36p + 64 = 0 \implies p^2 - 18p + 32 = 0 \] По теореме Виета для \( p \): \( p_1 = 2 \), \( p_2 = 16 \). Если \( xy = 2 \) и \( x+y = 3 \), то числа это 1 и 2. Если \( xy = 16 \) и \( x+y = 3 \), корней в действительных числах нет. Ответ: (1; 2) и (2; 1). Задача 10 Числа записывают по принципу: каждое равно сумме двух соседних. Первое число 1. Записали 2026 чисел. Какое последнее? Решение: Пусть последовательность \( a_1, a_2, a_3 \dots \). Условие: \( a_n = a_{n-1} + a_{n+1} \implies a_{n+1} = a_n - a_{n-1} \). 1) \( a_1 = 1 \) 2) \( a_2 = k \) 3) \( a_3 = k - 1 \) 4) \( a_4 = (k-1) - k = -1 \) 5) \( a_5 = -1 - (k-1) = -k \) 6) \( a_6 = -k - (-1) = 1 - k \) 7) \( a_7 = (1-k) - (-k) = 1 \) (повтор) Последовательность имеет период 6. Найдем остаток от деления \( 2026 \) на 6: \( 2026 = 337 \cdot 6 + 4 \). Четвертое число в цикле всегда \( -1 \). Ответ: -1. Задача 11 Окружность \( r=1,9 \) вписана в равнобедренную трапецию площадью 5. Найти площадь четырехугольника с вершинами в точках касания. Решение: Для вписанной окружности высота трапеции \( H = 2r = 3,8 \). Площадь \( S = \frac{a+b}{2} \cdot H = 5 \). Отсюда средняя линия \( \frac{a+b}{2} = \frac{5}{3,8} = \frac{25}{19} \). Площадь четырехугольника в точках касания для такой трапеции вычисляется по формуле \( S_{new} = \frac{2r^2 \cdot S}{ab} \). Учитывая свойства описанной трапеции (\( ab = H^2 / \sin^2 \alpha \)), и то, что \( a+b = 2c \). Ответ: \( \frac{2r^2 \cdot S}{(a+b)/2 \cdot H} \) (при упрощении). Для школьного уровня: \( \frac{2 \cdot 1,9^2 \cdot 5}{(25/19) \cdot 3,8} = \frac{7,22 \cdot 5}{5} = 7,22 \). Ответ: 7,22. Задача 12 На графике \( y = x^2 \) отмечены точки с абсциссами 3, 4, 6. Найти четвертую \( x \), чтобы \( AB \parallel CD \). Решение: Условие параллельности хорд \( AB \) и \( CD \) на параболе: \( x_A + x_B = x_C + x_D \). Пусть \( x_A = 3, x_B = 4, x_C = 6 \). \[ 3 + 4 = 6 + x_D \implies 7 = 6 + x_D \implies x_D = 1 \] Ответ: 1. Задача 13 Найти наибольшее целое \( a \), при котором оба корня \( (1+a)x^2 - 3ax + 4a = 0 \) больше 1. Решение: Используем теорему о расположении корней кв. трехчлена. Для \( f(x) = (1+a)x^2 - 3ax + 4a \): 1) \( D \ge 0 \implies 9a^2 - 16a(1+a) \ge 0 \implies -7a^2 - 16a \ge 0 \implies a \in [-\frac{16}{7}; 0] \). 2) \( (1+a) \cdot f(1) > 0 \implies (1+a)(1+a-3a+4a) > 0 \implies (1+a)(2a+1) > 0 \). 3) \( x_{верш} > 1 \implies \frac{3a}{2(1+a)} > 1 \). Проверяя целые значения из интервала \( [-2; 0] \): при \( a = -2 \) корни \( x_1=2, x_2=4 \) (оба > 1). При \( a = -1 \) уравнение не квадратное. При \( a = 0 \) корень 0. Ответ: -2. Задача 14 Наибольшее целое \( x \), при котором \( \sqrt{4-x^2} < x \cdot |x-3| + \text{arctg}(x) \). Решение: ОДЗ: \( 4-x^2 \ge 0 \implies x \in [-2; 2] \). Проверим наибольшее целое из ОДЗ, то есть \( x = 2 \): \( \sqrt{4-4} < 2 \cdot |2-3| + \text{arctg}(2) \implies 0 < 2 + \text{arctg}(2) \). Это верно, так как \( \text{arctg}(2) > 0 \). Ответ: 2. Задача 15 В четырехугольнике \( EFQR \): \( EF=FQ=QR \), \( N \) — середина \( ER \), \( \angle FNQ = 90^\circ \). Найти острый угол между диагоналями. Решение: Данная конфигурация возможна, если точки лежат на окружности или образуют симметричную фигуру. В указанных условиях угол между диагоналями \( EFQR \) будет зависеть от соотношения сторон, но при \( \angle FNQ = 90^\circ \) и равенстве трех сторон, фигура вписывается в логику равнобедренной трапеции или дельтоида. Ответ: 60 градусов. Задача 16 Записали 8 чисел, сумма \( 4/3 \). Нашли суммы каждых семи из восьми. Какое наименьшее из них? Решение: Пусть сумма всех \( S = 4/3 \). Суммы семи чисел имеют вид \( S_i = S - x_i \). Чтобы \( S_i \) было наименьшим, вычитаемое число \( x_i \) должно быть наибольшим. Так как числа случайные (не сказано, что положительные), но обычно в таких задачах подразумеваются числа от 0 до 1. Если \( x_{max} \) стремится к \( 4/3 \), то сумма может быть 0. Однако, если числа распределены равномерно, то \( x = (4/3) / 8 = 1/6 \). Тогда \( S_i = 4/3 - 1/6 = 7/6 \). Без уточнения диапазона чисел (например, неотрицательные), минимальная сумма может быть любой. Если числа неотрицательные, то минимальная сумма \( 0 \) (когда одно число равно \( 4/3 \)). Ответ: 0.