Решение задачи: Подобие треугольников (Вариант 2)

Контрольная работа №4 по теме: «Подобие треугольников» Вариант-2 № 1. Дано: \(PE \parallel NK\), \(MP = 8\), \(MN = 12\), \(ME = 6\). Найти: а) \(MK\); б) \(PE : NK\); в) \(S_{MEP} : S_{MKN}\). Решение: а) Так как \(PE \parallel NK\), то треугольники \(MEP\) и \(MKN\) подобны по двум углам (\(\angle M\) — общий, \(\angle MEP = \angle MKN\) как соответственные при параллельных прямых). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[ \frac{ME}{MK} = \frac{MP}{MN} \] Подставим известные значения: \[ \frac{6}{MK} = \frac{8}{12} \] \[ 8 \cdot MK = 6 \cdot 12 \] \[ 8 \cdot MK = 72 \] \[ MK = 9 \text{ (см)} \] б) Отношение сторон \(PE\) и \(NK\) равно коэффициенту подобия \(k\): \[ \frac{PE}{NK} = \frac{MP}{MN} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \] Ответ: \(PE : NK = 2 : 3\). в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = k^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} \] Ответ: \(S_{MEP} : S_{MKN} = 4 : 9\). № 2. Дано: \(\triangle ABC\), \(AB = 12 \text{ см}\), \(BC = 18 \text{ см}\), \(\angle B = 70^\circ\). \(\triangle MNK\), \(MN = 6 \text{ см}\), \(NK = 9 \text{ см}\), \(\angle N = 70^\circ\). Найти: \(AC\), если \(MK = 7 \text{ см}\); \(\angle C\), если \(\angle K = 60^\circ\). Решение: Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(MNK\). 1) \(\angle B = \angle N = 70^\circ\) (по условию). 2) Проверим отношение сторон, прилежащих к этим углам: \[ \frac{AB}{MN} = \frac{12}{6} = 2 \] \[ \frac{BC}{NK} = \frac{18}{9} = 2 \] Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то \(\triangle ABC \sim \triangle MNK\) по второму признаку подобия. Коэффициент подобия \(k = 2\). Из подобия следует: \[ \frac{AC}{MK} = k \Rightarrow AC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 7 = 14 \text{ (см)} \] Соответственные углы в подобных треугольниках равны: \[ \angle C = \angle K = 60^\circ \] Ответ: \(AC = 14 \text{ см}\), \(\angle C = 60^\circ\). № 3. Дано: \(AB \cap CD = O\), \(\angle ACO = \angle BDO\), \(AO : OB = 2 : 3\), \(P_{BOD} = 21 \text{ см}\). Найти: \(P_{ACO}\). Решение: Рассмотрим \(\triangle ACO\) и \(\triangle BDO\): 1) \(\angle ACO = \angle BDO\) (по условию). 2) \(\angle AOC = \angle BOD\) (как вертикальные). Следовательно, \(\triangle ACO \sim \triangle BDO\) по двум углам (первый признак подобия). Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: \[ k = \frac{AO}{OB} = \frac{2}{3} \] \[ \frac{P_{ACO}}{P_{BOD}} = k \] \[ \frac{P_{ACO}}{21} = \frac{2}{3} \] \[ 3 \cdot P_{ACO} = 2 \cdot 21 \] \[ 3 \cdot P_{ACO} = 42 \] \[ P_{ACO} = 14 \text{ (см)} \] Ответ: \(14 \text{ см}\).